Década Perdida

COMBINAÇÃO LINEAR

Uma expressão da forma a1u1 + a2u2+ . . . +anun = w, onde a1, a2, . . . ,an são escalares e u1, u2, . . .,un e w, vetores do n chama-se combinação linear. Em outras palavras, sejam V um espaço vetorial real ( ou complexo), v1, v2,...,vn  V e a1,...,an, números  (ou complexos). Então o vetor é um elemento de V, e dizemos que “v” é uma combinação linear de v1,...,vn.

W = [ v1,...,vn] é chamado subespaço quando por v1,...,vn.

Por exemplo, os vetores e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial R3, pois qualquer vetor (a, b, c)  R3 pode ser escrito como combinação linear dos ei, especificamente:

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

Sendo u = (x, y, z) se o sistema de equações lineares resultante da combinação linear não for consistente, isto é, não tiver solução, então o vetor não pode ser escrito como combinação linear, logo não gera um espaço.

Exemplos.:
1) Sejam e os escalares a1 = 2 e a2 = -1. Podemos encontrar um vetor = (x, y) que seja combinação linear de (x, y) = 2.(3, 1) + (-1).(2, 4) = (4, -2) =

2) Sejam os vetores = (1, -3, 2) e = (2, 4, -1).
O vetor = (-4, -18, 7) pode ser escrito como combinação linear de .
(-4, -18, 7) = a1.(1, -3, 2) + a2.(2, 4, -1)

COMBINAÇÕES LINEARES E SUBESPAÇOS GERADOS

Seja um vetor espaço vetorial. Considere um subconjunto  V, com A  . O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. O subespaço diz-se gerado por Ou seja:

S = G (A) ou

Os vetores v1,...vn são chamados geradores de S e A é o conjunto gerador.

Exercícios:

1) Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) geram o espaço vetorial 2, pois qualquer (x, y)   é combinação linear de i e j.

(x, y ) = x.(1, 0) + y.(0, 1) = (x, y) [ i, j ] = 2

2) Os vetores =(1, 0, 0), =(0, 1, 0) e =(0, 0, 1) geram o espaço vetorial 3.
(x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) +