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Unidade II

MATEMÁTICA APLICADA

Prof. Mario Barbosa

Ajuste de Curvas
No mundo moderno, as pessoas têm que analisar gráficos de milhares de diferentes quantidades, por exemplo: Poder de comprar da moeda local em função do tempo; Número de derrames em função da pressão arterial Consumo de refrigerantes em função da temperatura e etc.

Ajuste de Curvas
Curva não linear:
y

y = x2x

Ajuste de Curvas
Curva da função oferta:

P

Q

Ajuste de Curvas
Curva não linear:
y y = x3

x

Ajuste de Curvas
Os pontos observados em tais gráficos tende a ser distribuídos de forma irregular devido à natureza complexa do fenômeno envolvido; Dados disponíveis apresentam imprecisões; Em situações nas quais temos que tirar conclusões e fazer predições; Freqüentementebaseado em argumentos heurístico e hipóteses de trabalho, podemos considerar um modelo matemático para o fenômeno envolvido, por exemplo, uma reta

Ajuste de Curvas
Consumo de refrigerante em função da temperatura.
Temperatura (ºC) 16 31 38 39 22 Consumo (l) 290 374 393 425 320

Ajuste de Curvas
Diagrama de Dispersão: C(l)
500

400 300

200 100

T(ºC) Existe uma reta que se ajusta paraesses pontos?
10 20 30 40 50

Ajuste de Curvas
Qual é a curva que melhor se adapta ao conjunto de pontos, isto é, qual a expressão analítica ou a função que melhor se ajusta aos pontos (x, y)? Qual é a representação gráfica dessa nova função?

Ajuste de Curvas
Matematicamente, os dados traduzem os pontos:
y (x3, y3) (x ( n, axn + b) (xn, yn) (x1, y1) y = ax + b

(x2, y2) x

Ajustandouma reta a um conjunto de pontos experimentais

Ajuste de Curvas
Em geral, não esperamos encontrar uma reta que ajuste os pontos dados, de forma que o erro seja zero. De fato, essa situação irá ocorrer apenas quando os pontos forem alinhados.

Interatividade
Analisando os dados da tabela ao lado A li d d d d t b l l d podemos concluir que o ajuste de curva será: a) Uma parábola b) Umahipérbole c) Uma reta d) Uma exponencial e) Uma logaritmica
Tempe ratura (ºC) 16 31 38 39 22

Consumo (l) 290 374 393 425 320

Regressão
Estudar a relação entre duas variáveis quantitativas, por exemplo: Idade e alturas de crianças; Tempo de prática de esporte e ritmo cardíaco; ; Taxa de desemprego e taxa de criminalidade; Venda de automóveis em relação ao aumento de salário.

RegressãoExistem vários processos matemáticos para solução da curva de ajuste, podemos destacar o método mínimo quadrado, que tem por finalidade gerar uma regressão linear ou ajuste linear. As curvas mais comuns são: Reta → y = ax + b (regressão linear) Parábola → y = a0 + a1x + a2x2 (regressão quadrática).

Regressão Linear
Analisaremos o caso em que a curva de ajuste é uma função linear, muito freqüentenos casos empresariais. y = ax + b Investia a presença ou ausência de relação linear sob dois ponto de vista: 1) Quantificando a força dessa relação, isto é, a correlação; 2) Explicitando a forma dessa relação, ou seja, regressão. seja regressão

Regressão Linear
Após ter verificado que a correlação entre duas variáveis é significante, o próximo passo é determinar a equação da reta que melhormodela os dados Essa reta é chamada de regressão e sua equação pode ser usada para prever o valor de y para um dado valor de x.

Regressão Linear
Seja a equação da reta: y = Ax + B Através do processo de minimização de erro podemos determinar os valores das variáveis A e B para o qual formará uma equação de regressão y = Ax + B. Que é dada por:

Regressão Linear
Fórmula da regressãolinear:

A = B =

n .∑ xy − ∑ x .∑ y n .∑ x − (∑ x )
2 2

∑ y − A.∑ x n

Regressão Linear
Em que:

∑ x = soma das coordenadas x dos pontos dados ∑ y = soma das coordenadas y dos pontos dados ∑ xy = soma dos produtos das coordenadas dos pontos ∑ x2 = soma dos quadrados das coordenadas x n = número de pontos dados

Regressão Linear
Ou seja:

∑ x = x1 + x2 + ... + xn ∑ y = y1 + y2 +...
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