Doutor

Interpolação – Método de Newton
(Algoritmo em matlab)
EQUIPE: GABRIEL PEREIRA GONÇALVES NOELÇO SILVA DIAS JÚNIOR LECIV- MESTRADO ENG. CIVIL / ESTRUTURAS – Campos dos Goytacazes - 2009

INTRODUÇÃO
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definidas (polinômios). g(x) é usada em substituição à função f.

Problemática
Essa necessidade de efetuar esta substituição surge quando:
Quando são somente conhecidos os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor de um ponto tabelado. Quando a expressão da função é complicada de mais para ser integrada ou diferenciada.

Em equação x0, ..., xn (nós da interpolação) e os valores de f(x) nesses pontos: f(x0), ..., f(xn). Determinar a função g(x) tal que: g(x0)=f(x0) .... g(xn)=f(xn)

Interpolação polinomial
Considerando que p o polinômio escreve-se pn(x)= a0+a1x+...+anxn , a condição f(xk)=pn(xk) ; k=0,1,...,n produz o sistema seguinte de n+1 equações , n+1 variáveis:
a0 + a1 x0 + ... + an x0 n = f ( x0 )  a0 + a1 x1 + ... + an x1n = f ( x1 )   ......... a + a x + ... + a x n = f ( x ) n n n  0 1 n

Forma de Newton
Considerando os n+1 pontos (x0,f(x0)), ..., (xn,f(xn)) e o polinômio interpolador pn(x). Newton propôs de representar o polinômio pn(x) da forma: pn(x)=d0+d1(x-x0)+d2(x-x0)(x-x1)+...+dn(x-x0)...(x-xn-1) Os coeficientes dk, k=0,...,n são diferenças divididas de ordem k entre os pontos (xj,f(xj)), j=0,...,k

Forma de Newton
A forma de Newton para o polinômio Pn(x) que interpola f(x) em x0, x1,…, xn, (n+1) pontos distintos é a seguinte:

Pn ( x ) = f [ x0 ] + ( x − x0 ) ⋅ f [ x0 , x1 ]

Operador Diferenças Divididas

+ ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ f [ x0 , x1, x 2 ] + K + ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ K ⋅ ( x − x n −1 ) ⋅ f [ x0 , x1,K, x n ]
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Operador diferenças divididas f [ x0 , x1,K, x n ] é a DIFERENÇA DIVIDIDA de ordem n da função f(x) sobre os n +