Dominiofrequencia

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requenciaSinais e Sistemas no domínio da freqüência Lista de Exercícios
Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa 3 de maio de 2011

Resumo
O objetivo desta lista é reforçar alguns aspectos da análise de sistemas no domínio da freqüência, usando séries e transformada de Fourier, conforme conteúdo ministrado na disciplina de Sinais e Sistemas.

1 Exercícios de Série de Fourier
1. Converta a funçãog(t) = (1 + ȷ)eȷ4πt) + (1 − ȷ)e−ȷ4πt em uma representação sem ȷ. 2. Calcule a série de Fourier para os sinais (determine o período para cálculo): (a) x(t) = 4 rect(4t) ∗ δ1 (t) (b) x(t) = 4 rect(4t) ∗ δ4 (t) (c) Sinal periódico com período fundamental igual a:
{ x(t) = sign(t), |t| < 1 0, 1 < |t| < 2

3. Calcule a série de Fourier para os sinais (use os períodos T0 apresentados): (a) (b) (c)(d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o)
x(t) = 10 sen(20πt), T0 = 1/10 x(t) = 2 cos(100π(t − 0,005)), T0 = 1/50 x(t) = − cos(500πt), T0 = 1/50 { } d x(t) = dt e−j10πt , T0 = 1/5 x(t) = rect(t) ∗ 4δ4 (t), T0 = 4 x(t) = rect(t) ∗ δ1 (t), T0 = 1 x(t) = tri(t) ∗ δ1 (t), T0 = 1 x(t) = 5 {tri(t − 1) − tri(t + 1)} ∗ δ4 (t), T0 = 4 x(t) = 3 sen(6πt) + 4 cos(8πt), T0 = 1 x(t) = 2 cos(24πt) − 8cos(30πt) + 6 sen(36πt), T0 = 2 ∫t x(t) = −∞ {δ1 (λ) − δ1 (λ − 1/2)} dλ, T0 = 1 x(t) = 4 cos(100πt) sen(1000πt), T0 = 1/50 x(t) = [14 rect(t/8) ∗ 12δ12 (t)] ⊗ [7 rect(t/5) ∗ 8δ8 (t)], T0 = 24 x(t) = [8 rect(t/2) ∗ 5δ5 (t)] ⊗ [−2 rect(t/6) ∗ 20δ2 0(t)], T0 = 20 x(t) = 20 cos(40πt + π/6)

Sugestão: Calcule as parcelas par e ímpar de x(t) e suas respectivas séries. Use também a propriedade dedeslocamento no tempo. (p) Reticação em meio onda de x(t) = sen(2πt) 1

(q) Reticação em onda completa de x(t) = sen(2πt) 4. Determine a função temporal com base nas seguintes séries de Fourier: (a) X[k] = δ[k − 2] + δ[k] + δ[k + 2], T0 = 1 (b) X[k] = 10 sinc(k/10), T0 = 1

2 Exercícios de Transformada de Fourier
1. Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais: (a) (c) (e) (g) (i) (k)(m) (o) (q) (s) (u) (w) (y) (z)
x(t) = 10 sen(t) (b) x(t) = 10 sen(t − 2) x(t) = 10 sen(2(t − 1)) (d) x(t) = 10 sen(2t − 1) x(t) = 5 rect(2t − 1) (f) x(t) = 5 rect((t/2) − 1) x(t) = 5 rect(2(t − 1)) (h) x(t) = 5 rect((t − 1)/2) x(t) = tri(t) (j) x(t) = 5 sen(3t − (π/4)) x(t) = 5 sen(3(t + 1)) (l) x(t) = 5 sen((t/3) − (π/4) x(t) = 5 sen((t + 1)/3) (n) x(t) = δ(t + 1/2) + δ(t − 1/2) x(t) = δ(t − 1)− δ(t + 1) ] (p) x(t) = 4e−|t|/16 [ −1+ȷ2π −1−ȷ2π x(t) = 2e + 2e (r) x(t) = 2δ2 (t) − 2δ2 (t − 1) x(t) = 10 sen(t) ∗ 2δ(t + 4) (t) x(t) = rect(t) ∗ δ2 (t) x(t) = tri(10t) ∗ δ1/4 (t) (v) x(t) = 5 sinc(2t − 1) x(t) = 5 sinc((t/2) − 1) (x) x(t) = 5 sinc(2(t − 1)) x(t) = 5 sinc((t − 1)/2) x(t) = 4 sinc(4t) − 2 sinc(4(t − 1/4)) − 2 sinc(4(t + 1/4))

2. Calcule as seguintes convoluções usandotransformada de Fourier (a) x(t) = rect(t) ∗ cos(πt) (c) x(t) = sinc(t) ∗ sinc(t/2) (e) x(t) = e−t u(t) ∗ sen(2πt) 3. Determine a energia dos seguintes sinais: (a) x(t) = 4 sinc(t/5)
2

(b) x(t) = rect(t) ∗ cos(2πt) (d) x(t) = sinc(t) ∗ sinc2 (t/2)

(b) x(t) = 2 sinc2 (3t)

4. Calcule as seguintes transformadas inversas de Fourier (a) X(ȷΩ) = e−4Ω (b) X(ȷΩ) = 7 sinc2 (Ω/π) (c) X(ȷΩ) = jπ [δ(Ω + 10π)− δ(Ω − 10π)] (d) X(ȷΩ) = (π/20)δ1/4 (Ω) (f) X(ȷΩ) =
6 3 + ȷΩ ( ( ) eȷ7Ω

(e) X(ȷΩ) =

5π + 10πδ(Ω) ȷΩ

(g) X(ȷΩ) = 20 tri(8Ω) (i) X(ȷΩ) = eȷ3Ω

( ) 3Ω ȷ5Ω 4Ω −ȷΩ (j) X(ȷΩ) = 3 sinc e (k) X(ȷΩ) = 96 sinc e π π (l) X(ȷΩ) = rect(Ω + 10π) − rect(Ω − 10π) 16 (m) X(ȷΩ) = 48 cos(3Ω) (n) X(ȷΩ) = j sen(Ω) 3 16 16 (o) X(ȷΩ) = sen(Ω) (p) X(ȷΩ) = −j sen(Ω) 3 3 16 (q) X(ȷΩ) = j cos(Ω) 3
2

(h) X(ȷΩ)= 0,375 rect

Ω 16π )

5. Um sinal periódico tem período fundamental igual a 4 segundos. Quais as duas menores freqüências positivas na qual sua transformada de Fourier poderia ser não nula? 2

3 Exercícios de Sistemas
1. Dado os sistemas:
h1 (t) = 3e−10t u(t) h2 (t) = δ(t) − 3e−10t u(t)

Determine a resposta em freqüência para a associação em cascata e em paralelo desses dois...
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