Doc Calculo 159605819

Ensino Superior

Cálculo 1
1.2- Propriedades dos Limites
Amintas Paiva Afonso

Propriedades dos limites
Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro positivo. I) limb  b xc II) lim x  c xc III) lim xn  cn xc IV) lim n x  n c x c

Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo. Operação com limites
Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e g funções para lim as quais f ( x)  L lim g ( x) eM . x c

x c

I) lim [b.f(x)]  bL x c

II) lim [f(x)  g(x)]  L  M x c

III) lim [f(x).g(x)]  L.M x c

 f(x)
L
IV) lim 

;

x  c  g(x)
M

 lim g(x)  0
 x c


V) lim  f(x)  Ln n xc

VI) lim

xc

n

f(x)  n L

Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo.

Operação com limites
Propriedades


P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende a “a”, é igual a “a”.

lim x a
Exemplos:

x a

lim x 3

lim x e

lim x 

3 lim x

5
3

x 3

x 

x e

x 5

lim x  0,3

x   0,3

Operação com limites


P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x tende a “a”, é igual a própria constante:

lim K K x a

Exemplos:

lim 4 4 x 3

lim   x 2

lim e e

x

2

lim

x  

3

5 3 5

Operação com limites


P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites
(caso esses limites existam):

lim f ( x)  g ( x) lim f ( x)  lim g ( x) x a

x a

x a

Exemplo:
2

2

lim( x  3 x  5) lim x  lim 3 x  lim 5  x 2

x 2

x 2

x 2

lim x 2  3 lim x  lim 5 2 2  3.2  5 15 x 2

x 2

x 2

Operação com limites


P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites
(caso esses limites existam):

lim f ( x)  g ( x) lim f ( x)  lim g ( x) x a

x a

x a

Exemplo:
2

2

lim(2 x  x) lim 2 x  lim x x 2

x 2

2

x 2

2

2 lim x  lim x 2.2  2 6 x 2

x 2

Operação com limites


P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
(caso esses limites existam):

lim f ( x).g ( x ) lim f ( x). lim g ( x ) x a

x a

x a

Exemplo:

lim( x 2 ) lim x.x lim