Divisibilidade

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Estruturas Discretas
Divisibilidade e Aritmética Modular

Divisibilidade
Quando um número inteiro é dividido por um segundo número
inteiro, diferente de zero, o quociente pode ou não ser um
número inteiro
Exemplo:
12/3 = 4 quociente inteiro
11/4=2,75 quociente não inteiro
Se a e b são números inteiros com a&0, dizemos que a divide b
se houver um número inteiro c de modo que b=ac.a é um fator de b
b é um múltiplo de a
Notação:
a|b a divide b
08/04/2012

Teorema
Se um número inteiro a divide outros dois números
inteiros b e c, ele divide a soma b+c (e a diferença).
6 divide 30 e 48
6 divide 30+48 = 78.
E 6 divide 48-30 = 18

Teorema
Se um número inteiro a divide um número b e se esse
número divide c então a divide c.
2 divide 6 e 6 divide 30 logo 2 divide 3008/04/2012
3

Teorema
Se um número inteiro a divide um número b então a divide
bc para qualquer inteiro c.
2 divide 6 logo 2 divide 30 (6.5)

Corolario
Se a,b e c são números inteiros, tal que a|b e a|c, então
a|mb+nc sempre que m e n forem números inteiros.
2 divide 6 e 2 divide 4 então 2 divide 38 (3.6 +5.4)
08/04/2012
4

Equação de Euclides
Considere a e d como inteiros ,sendo d não negativo. Então
haverá inteiros q e r únicos, com 06r<d, tal que a=d*q + r
a:dividendo
d: divisor
q:quociente
r:resto
Quando r=0
a é múltiplo de d e q
d e q são divisores de a
q=a div d e r = a mod d
Exemplo: Qual o quociente e o resto para 101 dividido por 11?
E -11 dividido por 3?

Propriedades
Dividimos dois números por um mesmo divisor. Se a soma
(diferença) dosrestos for menor que o divisor ela será igual
ao resto da divisão da soma (diferença) dos dois números
pelo divisor.
22 = 7 * 3 + 1 e 33 = 7 * 4 + 5
A soma dos restos é 6 (menor que 7).
22+33 = 55
55 = 7 * 7 + 6
A diferença dos restos é 4 (menor que 7)
33-22 = 11
11 =7 * 1 + 4
08/04/2012
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Observação
Quando efetuando a diferença dos números, se a diferença
dos restos for um númeronegativo, somamos o divisor
para encontrar o resto final.
44 = 7* 6 + 2 e 26 = 7 * 3 + 5
2-5 = -3
-3+7=4
44-26 = 18
18 = 7 * 2 +4

Exercícios
A diferença entre os restos pode ser maior que o divisor?
Em algum caso necessitaremos adicionar o divisor mais do
que uma vez?
08/04/2012

Propriedades
Dividimos dois números por um mesmo divisor; se a soma
dos restos for maior que o divisor,subtraímos o valor
do divisor e o resultado será o resto da divisão da soma
dos dois números pelo divisor.
26 = 7 * 3 + 5 e 32 = 7 * 4 + 4
A soma dos restos é 9 (que maior que 7). 9-7 = 2
26+32 = 58
58 = 7 * 8 + 2

Exercícios
Sem executar a soma, determine o resto das divisões:
(47+73) : 7
(354+432) : 10
(16+22+35) : 3
08/04/2012
7

Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2:verifica-se o último algarismo
Par é divisível por 2
Ímpar não é divisível por 2
Divisibilidade por 4: verifica-se se os 2 últimos algarismos
formam um número divisível por 4
O resto da divisão é o resto da divisão dos 2 últimos algarismos
125867432 é divisível por 4?
32 = 4 * 8 + 0
Qual o resto de 35971659 : 4?
59 = 4 * 14 + 3

Critério de divisibilidade
Divisibilidade por 8:verifica-se se os 3 últimos algarismos fomam
um número divisível por 8
O resto da divisão é o resto da divisão dos 3 últimos algarismos
125867344 é divisível por 8?
344 = 8 * 43 + 0
Qual o resto de 35971659 : 8?
659 = 8 * 82 + 3.
Divisibilidade por 5: se o ultimo algarismo for 5 ou 0 é divisível
Divisibilidade por 10: se o ultimo algarismo for 0 é divisível
08/04/2012
8

Exercícios
Se somarmostodos os números de 1 a 587 qual o resto da
divisão por 5?
Se somarmos todos os números de1a536 qual o resto da
divisão por 10?

Critério de divisibilidade
Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos
seus algarismos for divisível por 3
o resto da divisão de um número por 3 é o mesmo resto da divisão da
soma de seus algarismos por 3.
Divisibilidade por 9: um número...
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