divergente

Física Matemática – Physics ACT

DERIVADA DIRECIONAL
A derivada direcional é um valor escalar que representa a derivada de um campo escalar ao longo de um vetor
൬

߲݂
൰
ൌ ሺ‫݂׏‬ሻ୮బ · ‫ݑ‬
ሬԦ
߲‫,୳ ݏ‬୮బ

OPERADOR GRADIENTE
O gradiente pode ser usado para determinar a direção de máximo crescimento ou decrescimento de um fluxo em um campo escalar, pois nos mostra a alteração no valor de uma quantidade por unidade de tempo.

ሬԦ߮ ൌ
‫׏‬

߲߮
߲߮
߲߮
෠
ଓ̂ ൅
ଔ̂ ൅
݇
߲‫ݔ‬
߲‫ݕ‬
߲‫ݖ‬

Gradiente em outras coordenadas:
Coordenadas cilíndricas:

ሬԦ
‫ ߮׏‬ൌ

߲߮
1 ߲߮
߲߮
෠
෠
ߩ ൅
ො
߶ ൅
݇
߲ߩ
ߩ ߲߶
߲‫ݖ‬

Coordenadas esféricas:
ሬԦ߮ ൌ
‫׏‬

߲߮
1 ߲߮
1 ߲߮
෠
෠
‫ ̂ݎ‬൅
ߠ൅
߶
߲‫ݎ‬
‫ߠ߲ ݎ‬
‫߶߲ ߠ ݊݁ݏݎ‬

Física Matemática – Physics ACT

DIVERGENTE
O divergente mede a magnitude de uma fonte ou um sorvedouro de um campo vetorial em um determinado ponto. Assim ele pode ser considerado um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.
ሬԦ ሬԦ
‫ ܸ·׏‬ൌ

߲ܸ ߲ܸ ߲ܸ
௬
௫
௭
൅
൅
߲‫ݔ‬
߲‫ݕ‬
߲‫ݖ‬

ሬԦ
O divergente de um vetor ܸ multiplicado por função escalar ݂ é dado por:
ሬሬሬሬԦ
ሬԦ
ሬԦ
ሬԦ ሬԦ
ሬԦ
‫ · ׏‬ሺ݂ܸሻ ൌ ൫‫݂׏‬൯ · ܸ ൅ ݂൫‫ ܸ · ׏‬൯

Prova:
ሬԦ
ሬԦ
‫ · ׏‬ሺ݂ܸ ሻ ൌ

ሬԦ
ሬԦ
ሬԦ
߲ሺ݂ܸ ሻ
߲ሺ݂ܸ ሻ
߲ሺ݂ܸ ሻ
෠
ଓ̂ ൅
ଔ̂ ൅
݇
߲‫ݔ‬
߲‫ݕ‬
߲‫ݖ‬

Efetuando as derivadas temos
ሬԦ
ሬԦ
‫ · ׏‬൫݂ܸ ൯ ൌ ൤
Onde
൤ e ߲݂
߲݂
߲݂
߲ܸ ߲ܸ ߲ܸ
௬
௫
௭
෠ ሬԦ
ଓ̂ ൅
ଔ̂ ൅
݇൨ · ܸ ൅ ቈ
൅
൅
቉݂
߲‫ݔ‬
߲‫ݕ‬
߲‫ݖ‬
߲‫ݔ‬
߲‫ݕ‬
߲‫ݖ‬

߲݂
߲݂
߲݂
෠ ሬԦ
ሬԦ
ሬԦ
ଓ̂ ൅
ଔ̂ ൅
݇ ൨ · ܸ ൌ ൫‫݂׏‬൯ · ܸ
߲‫ݔ‬
߲‫ݕ‬
߲‫ݖ‬
߲ܸ ߲ܸ ߲ܸ
௬
௫
௭
ሬԦ ሬԦ
ቈ
൅
൅
቉ ݂ ൌ ݂൫‫ ܸ · ׏‬൯
߲‫ݔ‬
߲‫ݕ‬
߲‫ݖ‬

Assim temos
ሬሬሬሬԦ
ሬԦ
ሬԦ
ሬԦ
ሬԦ ሬԦ
‫ · ׏‬ሺ݂ܸሻ ൌ ൫‫݂׏‬൯ · ܸ ൅ ݂൫‫ ܸ · ׏‬൯

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Divergente em outras coordenadas:
Coordenadas cilíndricas:

ሬԦ · ܸ ൌ
‫ ׏‬ሬԦ

1 ߲ሺߩܸ ሻ 1 ܸ
߲ܸ
ఘ
ఝ
௭
൅
൅
ߩ ߲ߩ
ߩ ߲߶ ߲‫ݖ‬

Coordenadas esféricas:

ሬԦ · ܸ ൌ
‫ ׏‬ሬԦ

߲ܸథ
1
1 ߲ሺ‫ ݎ‬ଶ ܸ ሻ
߲߮ሺ‫ܸ ߠ݊݁ݏ‬ఏ ሻ
௥