Distribuições discretas de probabilidade

Páginas: 13 (3158 palavras) Publicado: 26 de junho de 2011
6. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE

1. Introdução

Tal como nos modelos matemáticos determinísticos, nos quais algumas relações funcionais desempenham papel importante (como por exemplo a linear, a quadrática, a exponencial, a trigonométrica, etc.), também verifica-se que na construção de modelos probabilísticos para fenômenos observáveis, algumas distribuições de probabilidadesão mais importantes devido ao seu maior uso. No caso de variáveis aleatórias discretas as distribuições mais importantes são:
a) a distribuição de Bernoulli;
b) a distribuição Binomial;
c) a distribuição de Poisson;
d) a distribuição geométrica;
e) a distribuição hipergeométrica.

2. Distribuição de Bernoulli

Consideremos umaúnica tentativa de um experimento aleatório E com dois resultados possíveis, sucesso se ocorrer o evento desejado ou fracasso de não ocorrer. Defina-se a variável aleatória.
X = 1, se ocorrer o evento desejado
X = 0, em caso contrário
Se a variável assim definida apresentar as seguintes propriedades:
P(X=1) = p e P(X=0) = 1 - p, entãodizemos que essa variável apresenta distribuição de Bernoulli com as seguintes características:
a) a média de X = E (X) = [pic]
E(X) = p
b) a variância de X = V(X) = E(X2) - [E(X)]2
V(X) = p - p2
V(X) = p (1 - p)
A função de probabilidade de uma variável aleatória que segue distribuição de Bernoulli é dada por:[pic], sendo [pic]
Exemplo
Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X o número de bolas verdes, calcular E(X) e Var (X) e determinar P(X)
[pic] [pic] [pic]
[pic]
Resumo:
X tem distribuição de BENOULLI
[pic]

3. Distribuição Binomial

Sejam E um experimento e A algum evento associado a E.Admitindo-se que P(A) = p, consequentemente, [pic].
Considerando-se n repetições de E e supondo-se que as probabilidades acima permaneçam constantes e que as tentativas (repetições) sejam independentes (escolha com reposição).
O espaço amostral S, será formado por todas as seqüências possíveis do tipo {a1, a2,.,an}, onde cada ai é [pic] ou [pic].
Seja a variável aleatória X,igual ao número de vezes que ocorra A nas n repetições. O contradomínio de X será:
RX = {0, 1, 2, ... , n}
Nessas condições diz-se que X é uma variável aleatória binomial, com parâmetros n e “p” e sua distribuição de probabilidade é dada por:
[pic]
Para que a função p defina uma legítima distribuição de probabilidade são necessárias as seguintes condições:a) [pic]
b) [pic]
Pela simples inspeção da fórmula[pic], vê-se que a 1ª condição é satisfeita , já que [pic], [pic], [pic].
Para a segunda condição:
[pic], já que [pic] é o desenvolvimento pelo Binômio de Newton.
A média e a variância da distribuição são dadas por:
E(X) = n . p e V(X) = n . p . (1 - p)Exemplo:
Peças saem de uma linha de produção e são classificadas com defeituosas (D) e não defeituosas ([pic]).
Suponha-se que p=0,2 seja a probabilidade de uma peça ser defeituosa e 1-p seja a probabilidade de uma peça não ser defeituosa, ou seja, P([pic]) = 0,80.
Admitindo-se que as probabilidades permaneçam constantes.
Admitindo-se que a classificação de cadapeça seja independente da classificação de outra qualquer.
Seja a variável aleatória X igual ao número de peças defeituosas na escolha com reposição de 3 peças.
Como se vê X é uma variável aleatória discreta com distribuição binomial, então:
[pic], onde n=3 ; p=0,20 e (1-p) = 0,80.
Qual a probabilidade de ocorrerem 2 peças defeituosas, entre as 3 retiradas....
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