Distribuições discretas de estatística

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Distribuições de Probabilidades 
Quando  aplicamos  a  Estatística  na  resolução  de  problemas  administrativos,  verificamos  que  muitos  problemas  apresentam as mesmas características o que nos permite estabelecer um modelo teórico para determinação da solução  de problemas.  Os componentes principais de um modelo estatístico teórico: 1. Os possíveis valores que a variável aleatória X pode assumir;  2. A função de probabilidade associada à variável aleatória X;  3. O valor esperado da variável aleatória X;  4. A variância e o desvio‐padrão da variável aleatória X.  Há  dois  tipos  de  distribuições  teóricas  que  correspondem  a  diferentes  tipos  de  dados  ou  variáveis  aleatórias:  a  distribuição discreta e a distribuição contínua.   

Distribuições Discretas Descreve quantidades aleatórias  dados de interesse  que podem assumir valores particulares e os valores são finitos.  Por exemplo, uma  variável aleatória discreta pode assumir somente os valores 0 e 1, ou qualquer inteiro não negativo,  etc. Um exemplo de variável climatológica discreta são as tempestades com granizo. 

 

Distribuição de Bernoulli 
Característica do modelo Se uma variável aleatória X só pode  assumir os valores 0  fracasso  e 1  sucesso  com P X   0    q e P X   1    p com  p   q   1, então diremos que a variável aleatória X admite distribuição de Bernoulli.  Discrição do modelo  1. X    0,1   2. P X   0    q   3. E X    p;  4. σ2   Var  X    p x q   e   σ   Dp X             e   P X   1    p; 

Podemos escrever o modelo do seguinte modo: 

P X   x   px  . q1‐x 
onde q   1 - p.  • X  0  1      EXEMPLO:  No lançamento de uma moeda, a variável aleatória X denota o número de caras obtidas.  1. X    0,1 ;   2. P X   0    1/2       e   P X   1    1/2;  3. E X    0 x 1/2   1 x 1/2   1/2;  Esperança  média  e Variância:  PX  q  p  1  X . P X   O  p  p  X2 . P X   0 p p E X    p   e  Var X    p – p2  p 1 – p    p . qCalcularemos a média e a variância da variável com distribuição de Bernoulli assim: 

TMA    4. σ2   Var  X    1/2 x 1/2   ¼    EXERCÍCIO: 

DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
 e   σ   Dp X      1/2. 

Uma urna contém 20 bolas brancas e 30 bolas vermelhas. Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória X denota o  número de bolas vermelhas obtidas. Calcule a média E X , a Var X  e o desvio‐padrão de X.  Solução:                      0 Temos: X =→ p = 30/50 = 3/5 ∴ P(X=x) = (2/5)x . (3/5)1-x Var(X) = p.q = (2/5).(3/5) = 6/25                                     1 E(X) = p 2/5 → q = 20/50 = 2/5

Distribuição Binomial 
1. CONCEITUAÇÃO 
  Vamos, neste item, considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições:  a. O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes  n .  b.  As  provas  repetidas devem  ser  independentes,  isto  é,  o  resultado  de  uma  não  deve  afetar  os  resultados das sucessivas.  c. Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso e insucesso.  d.  No  decorrer  do  experimento,  a  probabilidade  p  do  sucesso  e  a  probabilidade  q  q    1  –  p   do  insucesso manter‐se‐ão constantes.   Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem k sucessos em n tentativas.    O experimento “obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda” satisfaz  essas condições.    Sabemos que, quando da realização de um experimento qualquer em uma única tentativa, se a probabilidade de  realização de um evento  sucesso  é p, a probabilidade de não‐realização desse mesmo evento  insucesso  é 1 – p  q.    Suponhamos,  agora,  que  realizemos  a  mesma  prova  n  vezes  sucessivas  e  independentes.  A  probabilidade  de  que um evento se realize k vezes nas provas é dada pela função:    Na qual:  P X   k  é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas;  p é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova – sucesso; ...
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