Distribuição weibull

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Distribuição de Weibull O objetivo é encontrar uma CDF que tenha uma grande variabilidade na taxa de falha, onde [pic] constante seja apenas uma das possibilidades, outra possibilidade é permitir formas polinomiais do tipo [pic]. Para obter [pic] é mais fácil iniciar pela taxa de falha acumulada [pic], para [pic] tem-se uma distribuição exponencial com taxa de falha constante e para os outroscasos uma taxa de falha polinomial.

[pic]

Usando-se a relação entre [pic] e [pic] tem-se que:

[pic]

Obtêm-se assim a equação CDF de Weibull pode-se ainda substituir [pic] obtendo-se: [pic]

O parâmetro [pic] é chamado de “vida característica” ou parâmetro de escala. O parâmetro [pic] é conhecido como “parâmetro de forma”.

[pic] e [pic] devem ser maiores do que zero e adistribuição é uma distribuição de vida definida somente por tempos [pic] positivos.

A PDF, a taxa de falha [pic] e a AFR são dadas por:

[pic]

Infelizmente não existe consenso sobre a nomenclatura usada na distribuição de Weibull, assim pode-se encontrar :

[pic] parâmetro de forma;

[pic] vida característica ou parâmetro de escala.

Pode-se ainda utilizar um terceiro parâmetro [pic]chamado de “parâmetro de localização” . O parâmetro de localização não tem influência na curva apenas a desloca ao longo do tempo, entrando na fórmula subtraindo o tempo. Assim:

[pic]

A equação CDF de Weibull tem quatro parâmetros que podem ser conhecidos, assumidos ou estimados a partir dos dados. A saber: a fração acumulada de falhas [pic]; o tempo [pic]; o parâmetro de forma [pic] e oparâmetro de vida característica [pic]. Caso sejam conhecidos três parâmetros o quarto pode ser determinado pelas equações:

[pic]

Propriedades da distribuição de Weibull

O parâmetro [pic] de escala ou vida característica corresponde ao ponto onde 63,2 % da população falha independente do parâmetro de forma [pic].

[pic]

Exercício:

Uma população de capacitores é conhecida porfalhar de acordo com uma distribuição de Weibull com vida característica [pic]=20.000 h. Avalie a probabilidade de um capacitor falhar com 100, 1.000, 20.000 e 30.000 h, para os casos onde o parâmetro de forma [pic] é 0,5; 1,0; ou 2,0. Também calcule a taxa de falha para os quatro tempos e os três parâmetros de forma.

|Tempo |CDF em %|Taxa de falha em % / k |
| |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|100 |7,0 |0,5 |0,002 |35,4 |5,0 |0,005 |
|1.000 |20,0 |4,9 |0,2 |11,2|5,0 |0,5 |
|20.000 |63,2 |63,2 |63,2 |2,5 |5,0 |10,0 |
|30.000 |70,6 |77,7 |89,5 |2,0 |5,0 |15,0 |

Figura 1 – Tabela com diferentes fatores de forma e tempos, comparação do CDF e Taxa deFalha

1) Observando-se a tabela vê-se que quando [pic]=0,5 para 100 h a CDF é muito maior do que quando [pic] ou [pic].
2) A taxa de falhas também é maior para [pic] e [pic] do que para [pic] ou [pic].
3) Observa-se que para [pic] a taxa de falha é constante. Isso implica que Weibull reduz-se a uma distribuição exponencial com [pic].
4) Observa-se também que a percentagem de falhapara 20.000 h é uniformemente 63,2 para todos os valores de [pic].

|Parâmetro de forma [pic] |PDF |Taxa de Falha [pic] |
|[pic] |Decresce exponencialmente até [pic] |Decresce |
|[pic] |Decresce exp. com [pic]...
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