Diferencial

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da sua derivada.

Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária.

EXEMPLOS:

dy d2 y dy = x + 5; + 3 + 2 y = 0 ; xy '+y = 3 ; y ' ' '+2( y ' ' ) 2 + y ' = cos x dx dx dx 2

Havendo duas ou mais variáveis independentes as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial.

∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂z + = x2 + y EXEMPLOS: =z+x ; ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2

ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: é a ordem da mais alta derivada que nela aparece.

GRAU

DE UMA

EQUAÇÃO DIFERENCIAL: considerando as derivadas como uma

polinómio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece.

SOLUÇÃO

OU

INTEGRAL GERAL: é toda a função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrárias. Se a equação é de primeira ordem, aparece uma constante, se é de segunda ordem, duas constantes, etc..

Capítulo 3

1 de 8

Geometricamente, a solução geral ou o integral geral representa uma família de curvas (denominadas curvas integrais).

EXEMPLO: a equação diferencial

dy = sen x tem como solução geral a seguinte dx

família de curvas a que chamamos campo de direcções da equação diferencial:

SOLUÇÃO PARTICULAR OU INTEGRAL PARTICULAR: é toda a solução da equação diferencial que se obtém da solução geral, por particularização da(s) constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral.

EXEMPLO: no caso anterior para a constante c=2 temos

Capítulo 3

2 de 8

Para a particularização das constantes, com vista à obtenção duma solução ou integral particular, podem ser fornecidas condições que podem ser referidas a uma mesmo valor da variável independente, condições iniciais.

Resolver ou integrar uma equação diferencial consiste em determinar a solução geral ou integral geral ou sendo