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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da sua derivada.
Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária.
EXEMPLOS:
dy d2 y dy = x + 5; + 3 + 2 y = 0 ; xy '+y = 3 ; y ' ' '+2( y ' ' ) 2 + y ' = cos x dx dx dx 2
Havendo duas ou mais variáveis independentes asderivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial.
∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂z + = x2 + y EXEMPLOS: =z+x ; ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2
ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: é a ordem da mais alta derivada que nela aparece.
GRAU
DE UMA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL: considerando as derivadas como uma
polinómio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece.
SOLUÇÃO
OU
INTEGRAL GERAL: é todaa função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrárias. Se a equação é de primeira ordem, aparece uma constante, se é de segunda ordem, duas constantes, etc..
Capítulo 3
1 de 8
Geometricamente, a solução geral ou o integral geral representa uma família de curvas (denominadas curvas integrais).
EXEMPLO: a equação diferencial
dy = sen xtem como solução geral a seguinte dx
família de curvas a que chamamos campo de direcções da equação diferencial:
SOLUÇÃO PARTICULAR OU INTEGRAL PARTICULAR: é toda a solução da equação diferencial que se obtém da solução geral, por particularização da(s) constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral.EXEMPLO: no caso anterior para a constante c=2 temos
Capítulo 3
2 de 8
Para a particularização das constantes, com vista à obtenção duma solução ou integral particular, podem ser fornecidas condições que podem ser referidas a uma mesmo valor da variável independente, condições iniciais.
Resolver ou integrar uma equação diferencial consiste em determinar a solução geral ou integral geral ou sendodadas condições, determinar a solução ou integral particular que as satisfazem.
Forma Geral das Equações Diferenciais e das suas Soluções Gerais
Ordem Forma Geral da Equação Diferencial Forma Geral da Solução Geral 1ª 2ª ... n f ( x , y, y ' ) = 0 f ( x, y, y ' , y ' ' ) = 0 ... f ( x , y, y ' ,..., y n ) = 0 f ( x , y, c) = 0 f(x,y,c1 ,c2 ) = 0 ...
f(x,y,c1,...,cn ) = 0
Inversamente, sendo dadauma família de curvas, é sempre possível determinar a equação diferencial que lhe está associada, isto é, a equação diferencial que admite essa família de curvas como solução geral. Para isso, deverá Ter-se em conta o número de constantes arbitrárias que aparecem na família de curvas, o que nos indicará a ordem da equação diferencial que se pretende obter, procedendo-se do seguinte modo: derivara função que representa a família de curvas dada, até à ordem que coincida com a ordem da equação diferencial procurada; eliminar as constantes arbitrárias entre a equação da família de curvas dada e as equações obtidas por derivação.
Capítulo 3
3 de 8
EXEMPLO: Determinar a equação diferencial associada à família de curvas y 2 = cx + 2 y .
A equação procurada é de primeira ordem, derivandoem ordem a x, tem-se 2 yy ' = c + 2 y ' ou c = 2 y ' (y − 1 ) , eliminando a constante arbitrária vem
y 2 = 2 xy ' (y −1 ) + 2 y .
Teorema da existência e unicidade da solução
TEOREMA:
Se
na
equação
y( n ) = f x , y, y ' , y ' ' ,..., y
n − 1 ,
a
função
f x, y , y ' , y ' ' ,..., y y , y ' , y ' ' ,..., y
n −1
n − 1 e assuas derivadas parciais em ordem a
forem funções contínuas num certo domínio
D ⊆ ℜ n + 1 e se a 0 ,a1 , a 2 ,...,a n ∈ D , então existe uma solução única y = ϕ(x) da equação diferencial que satisfaz as
y a 0 = a1 ,
(
)
( )
y ' a 0 = a 2 ,..., y (n − 1) a0 = an .
( )
( )
Forma Diferencial ou Forma Canónica de uma equação diferencial
Uma equação diferencial de primeira ordem, na forma...
Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária.
EXEMPLOS:
dy d2 y dy = x + 5; + 3 + 2 y = 0 ; xy '+y = 3 ; y ' ' '+2( y ' ' ) 2 + y ' = cos x dx dx dx 2
Havendo duas ou mais variáveis independentes asderivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial.
∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂z + = x2 + y EXEMPLOS: =z+x ; ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2
ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: é a ordem da mais alta derivada que nela aparece.
GRAU
DE UMA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL: considerando as derivadas como uma
polinómio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece.
SOLUÇÃO
OU
INTEGRAL GERAL: é todaa função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrárias. Se a equação é de primeira ordem, aparece uma constante, se é de segunda ordem, duas constantes, etc..
Capítulo 3
1 de 8
Geometricamente, a solução geral ou o integral geral representa uma família de curvas (denominadas curvas integrais).
EXEMPLO: a equação diferencial
dy = sen xtem como solução geral a seguinte dx
família de curvas a que chamamos campo de direcções da equação diferencial:
SOLUÇÃO PARTICULAR OU INTEGRAL PARTICULAR: é toda a solução da equação diferencial que se obtém da solução geral, por particularização da(s) constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral.EXEMPLO: no caso anterior para a constante c=2 temos
Capítulo 3
2 de 8
Para a particularização das constantes, com vista à obtenção duma solução ou integral particular, podem ser fornecidas condições que podem ser referidas a uma mesmo valor da variável independente, condições iniciais.
Resolver ou integrar uma equação diferencial consiste em determinar a solução geral ou integral geral ou sendodadas condições, determinar a solução ou integral particular que as satisfazem.
Forma Geral das Equações Diferenciais e das suas Soluções Gerais
Ordem Forma Geral da Equação Diferencial Forma Geral da Solução Geral 1ª 2ª ... n f ( x , y, y ' ) = 0 f ( x, y, y ' , y ' ' ) = 0 ... f ( x , y, y ' ,..., y n ) = 0 f ( x , y, c) = 0 f(x,y,c1 ,c2 ) = 0 ...
f(x,y,c1,...,cn ) = 0
Inversamente, sendo dadauma família de curvas, é sempre possível determinar a equação diferencial que lhe está associada, isto é, a equação diferencial que admite essa família de curvas como solução geral. Para isso, deverá Ter-se em conta o número de constantes arbitrárias que aparecem na família de curvas, o que nos indicará a ordem da equação diferencial que se pretende obter, procedendo-se do seguinte modo: derivara função que representa a família de curvas dada, até à ordem que coincida com a ordem da equação diferencial procurada; eliminar as constantes arbitrárias entre a equação da família de curvas dada e as equações obtidas por derivação.
Capítulo 3
3 de 8
EXEMPLO: Determinar a equação diferencial associada à família de curvas y 2 = cx + 2 y .
A equação procurada é de primeira ordem, derivandoem ordem a x, tem-se 2 yy ' = c + 2 y ' ou c = 2 y ' (y − 1 ) , eliminando a constante arbitrária vem
y 2 = 2 xy ' (y −1 ) + 2 y .
Teorema da existência e unicidade da solução
TEOREMA:
Se
na
equação
y( n ) = f x , y, y ' , y ' ' ,..., y
n − 1 ,
a
função
f x, y , y ' , y ' ' ,..., y y , y ' , y ' ' ,..., y
n −1
n − 1 e assuas derivadas parciais em ordem a
forem funções contínuas num certo domínio
D ⊆ ℜ n + 1 e se a 0 ,a1 , a 2 ,...,a n ∈ D , então existe uma solução única y = ϕ(x) da equação diferencial que satisfaz as
y a 0 = a1 ,
(
)
( )
y ' a 0 = a 2 ,..., y (n − 1) a0 = an .
( )
( )
Forma Diferencial ou Forma Canónica de uma equação diferencial
Uma equação diferencial de primeira ordem, na forma...
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