DETERMINANTES
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DeterminanteDefinição
Propriedades
Determinante de ordem 2
Determinante de ordem 3 (Regra de Sarrus)
Desenvolvimento de Laplace
Professor Cláudio Bispo
Definição
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, o
Determinante desta matriz A é um número real associado à matriz A. denotamos o determinante de A por det A.
Denotamos também o determinante da matriz
A, como
a
a
A= ⋮
a
a
11
a
⋯ a
21
a
⋯ a
n −1,1
n1
12
22
⋮ a n −1,2
a
n2
1, n −1
2,n −1
⋱
⋮
⋯
⋱
⋯ a
n , n −1
a a
⋮ , por det A =
a a
1n
a
a
⋯ a
a
n
a
a
⋯ a
a
⋮
⋮
n −1,n
nn
11
21
a
n −1,1
a
n1
12
22
a
n −1,2
a
n2
1,n −1
2, n −1
⋱
⋮
⋯
⋱
⋯ a
n , n −1
1n
n
⋮ a n −1, n
a
nn
Professor Cláudio Bispo
Propriedades do Determinante
i) det A = det AT ii) det (AB) = det A . det B. iii) Se a matriz A possui uma linha ou coluna nula então det A = 0. iv) Se a matriz A possui duas linhas ou colunas iguais então det A = 0 .
v) Se na matriz A uma linha ou coluna é múltipla de outra linha ou coluna então det A = 0 . vi) Trocando a posição de duas linhas ou colunas o determinante muda de sinal.
Professor Cláudio Bispo
Propriedades do Determinante
(continuação)
vii) Quando se multiplica uma linha ou coluna de uma matriz A por um número k ≠ 0 o determinante fica multiplicado pelo mesmo número.
Corolário: Quando se multiplica uma matriz A por um número k ≠ 0 o determinante fica multiplicado por kn. viii) O determinante de uma matriz A não se altera quando se faz a seguinte operação entre linha:
Li → Li + k Lj.
.
Professor Cláudio Bispo
Propriedades do Determinante
(continuação)
ix) O determinante de uma matriz triangular superior
(ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
1
det A
OBS.: A propriedade x é justificada pela propriedade ii
x) det A ⋅ det A = 1 ⇒ det A =
−1
−1
e pode ser utilizada para verificar se A possui inversa ou não, pois se detA=0 ⇒ detA-1 não existe . Logo A não é invertível.
Professor Cláudio