Determinadntes

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Matemática - 2008/09 - Determinantes

37

Determinantes
Determinantes de ordem 2 e 3.
O determinante de uma matriz quadrada é um número real obtido a partir da soma de determinados produtos de elementos da matriz. Vamos descrever como se calculam determinantes
de matrizes de ordem 2 e 3.
Ordem 2:
"
#
a11 a12
Se A =
; então o seu determinante é
a21 a22

Exemplo: det

"

12
34#

det A = a11 a22
=1

4

2

3=

a12 a21

2

Ordem 3:
2
3
a11 a12 a13
6
7
Se A = 4 a21 a22 a23 5 ; então o seu determinante é
a31 a32 a33
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

a11 a23 a32

a12 a21 a33

a13 a22 a31 :

Nota: Como se pode observar, o determinante de ordem três é uma soma de seis parcelas,
três afectadas do sinal positivo e três do sinalnegativo. Cada parcela é o produto de três
entradas da matriz, situadas em linhas e colunas diferentes. Para calcular estes produtos e o
sinal de que são afectados, costuma utilizar-se uma regra prática, conhecida como regra de
Sarrus1 :
1- Repetem-se as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira:
2
3
a11 a12 a13
a11 a12
6
7
4 a21 a22 a23 5 a21 a22
a31 a32 a33

a31 a32

2- Os produtos afectados com o sinal + obtêm-se multiplicando os elementos que se situam
ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte:

a11 a22 a33 ; a12 a23 a31 e a13 a21 a32
1

Pierre Frederic Sarrus (1798 - 1861) foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de
Sarrus foi provavelmente escrita no ano de 1833.

Matemática - 2008/09 - Determinantes
3 - Os produtosafectados com sinal

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obtêm-se multiplicando os elementos que se situam

ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte:

a13 a22 a31 , a11 a23 a32 e a12 a21 a33
2
3
123
6
7
Exemplo: Cálculo do determinante da matriz 4 4 5 6 5
789

Parcelas com sinal + :

1

2

123

3

6
7
det 4 4 5 6 5 = 1
789

9; 2

6

7e3

4

8

3

Parcelas com sinal

5

57; 1

6

8e2

4

9

:

5

9+2

6

7+3

4

8

3

5

7

1

6

8

2

4

9=0

Determinantes de ordem maior que 3.
O cálculo de determinantes de ordem superior a três não se pode fazer directamente pois
envolve o cálculo de muitas parcelas (por exemplo, no caso de ordem 4 são 24 parcelas e no
de ordem 5, 120 parcelas). No entanto, quando muitas entradasda matriz são nulas também
muitas das parcelas se anulam o que pode facilitar o cálculo do determinante. Em particular,
no caso da matriz ser triangular (superior ou inferior), o determinante é apenas o produto
das entradas principais.
Como a forma de escada de uma matriz quadrada é uma matriz triangular, o método de
eliminação de Gauss fornece um método para o cálculo do determinante:Começamos por ver o efeito de cada uma das operações elementares no determinante de uma
matriz:

Matemática - 2008/09 - Determinantes

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Tipo I: Se a matriz B foi obtida da matriz A por troca de duas linhas, então
det (A).
2
0
6
Exemplo: det 4 3
det (B ) =

2

15

3

7
6 95
61

2

3

69

6
det 4 0

=
"
L1 $ L 2

3

7
1 55
61

2

Tipo II: Se multiplicarmosuma linha da matriz por um número real diferente de zero então
multiplica-se o determinante pelo inverso desse
2
2
3
1
3
69
6
6
7
Exemplo: det 4 0
1 5 5 = 3 det 4 0
"
2
2
61
1
L
31

número.
3
23
7
1 55
61

Tipo III: Se adicionarmos a uma linha da matriz outra linha multiplicada por um número
real o determinante não se altera.
2
3
2
1
1
23
6
7
6
Exemplo: det 40
=
det 4 0
1 55
"
2
61
0
2L1 + L3

2
1
10

3

3

7
55
5

Cálculo do determinante através do método de eliminação
Vimos qual o efeito no determinante nas operações elementares nas linhas da matriz. Para
calcular o determinante de uma matriz começa-se por reduzir a matriz a uma forma de
escada, assinalando as alterações que ocorram no determinante. Como a forma de...
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