Desafio de matematica aplicada

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1. CONCEITO DE FUNÇÃO

Para construir o conceito de função, é necessário saber, antes, o que é:
- Produto Cartesiano;
- Relações binárias;
- Funções.

1.1. Produto Cartesiano

Chamamos de produto cartesiano ao conjunto formado por todos os pares ordenados possíveis de serem formados com os elementos de dois conjuntos conhecidos.

Veja o exemplo
Sejam os conjuntos A={a,b,c,d} e B= {1,2,3}.
O produto cartesiano de A por B (A x B) será dado por:

(a,1),(a,2),(a,3) [pic]
AxB={ (b,1),(b,2),(b,3) }
(c,1),(c,2),(c,3)
(d,1),(d,2),(d,3)

1.2. Relação binária:

Chamamos de relação binária a qualquer subconjunto do produto cartesiano determinado por uma lei de formação.

ExemploSeja a relação R1 do produto cartesiano de A x B, determinada por:
R1 = { (a, b) Є A x B | a é vogal e b é par}
Então: R1={(a,2)}

1.3. Função

Uma função é toda relação binária onde todos os elementos do primeiro conjunto formam pares e cada elemento forma um único par.

O exemplo anterior
Não se refere a uma função, pois nem todo elemento do primeiro conjunto formou par.Outro exemplo:
Sejam os conjuntos C = { 1, 2, 3} e D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a relação R2 = {(c, d) Є C x D | d = 2c + 1}
Neste caso, R2 = {(1, 3), (2, 5), (3, 7)}
Todo elemento do primeiro conjunto formou par e cada elemento formou um único par, portanto, trata-se de função.
Observe, pela figura, que cada elemento x do conjunto A está associado a apenas um elemento doconjunto B, o qual podemos chamar de imagem de x e representá-lo por f(x), pois é o resultado da transformação de x pela função f.
O conjunto A é chamado de domínio da função. O conjunto B é chamado de contradomínio da função.

1.3.1. Serventia das funções

Funções servem para descrever determinados fenômenos (econômicos, financeiros, biológicos, entre outros), pois para melhorentendê-los, utilizamos relações matemáticas.

1.3.2. Tipos de funções:

- Primeiro grau (afim, linear, constante);
- Segundo grau;
- Polinomial (grau maior ou igual a 3);
- Exponencial;
- Logarítmica;
- Potência;
- entre outros.

1.3.3. Elementos necessários

- Variável independente;
- Variável dependente;
- Lei de correspondência

Exemplo
“A receita R na venda de q unidadesde um produto é dada por R = 2q”
- R é a variável dependente
- q é a variável independente
- R = 2q é a lei de correspondência

1.3.4. Crescimento/decrescimento

- Função crescente: a medida em que a variável independente cresce, a variável dependente cresce também.
- Função decrescente: a medida em que a variável independente cresce, a variável dependente decresce.

Exemplo
“Areceita R na venda de q unidades de um produto é dada por R = 2q”, se aumentarmos quantidade de produtos vendidos, aumentamos a receita.
Portanto, função crescente.
[pic]
Outro exemplo
“A demanda q de uma mercadoria depende do preço p unitário em que ela é comercializada e essa dependência é expressa por q = 100 – 4p.”
Trata-se defunção decrescente, pois quanto mais o preço aumenta menor a quantidade demandada de mercadoria.

1.3.5. Função composta

A função composta pode ser entendida como a determinação de uma terceira função quando duas outras funções são conhecidas.

Exemplo
Suponha que a produção de determinado produto seja regida pela lei: p = –q²+8q+9.
Suponha, também, que a venda produção sejadada por: v = 0,7p. Observe que para calcular a venda é necessário, primeiro, calcular a produção.

1.3.6. Compondo funções

Note que v depende de p que depende de q. Então, v também depende de q.
Neste caso, poderemos fazer:
v = 0,7p
v = 0,7 * (–q² + 8q + 9)
v = –0,7q² + 5,6q + 6,3 (composta)

Tira teima
Para q = 4, teremos:
p = – q² + 8q + 9
p = – 4² + 8*4 + 9
p = –...
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