derivação

11
Derivação implícita e taxas relacionadas
Sumário
11.1 Derivação implícita

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

11.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

11.3 Problemas de taxa de variação . . . . . . . . . . . .

6

11.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

11.5 Aproximação linear

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

11.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

11.7 Textos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1

Unidade 11

Derivação implícita
11.1

Derivação implícita

Nas Unidades 9 e 10 aprendemos a derivar funções da forma y = f (x).
Nesse caso, dizemos que a função está denida explicitamente. No entanto, pode-se não dernir explicitamente uma função, mas fornecer uma propriedade que permita encontrar sua derivada, admitindo que a derivada exista. Por exemplo, considere a x2 + y 2 = 4
Como sabemos, trata-se da equação de um círculo de centro na origem e raio 2.
Podemos resolver explicitamente por:
√
y 2 = 4 − x2 =⇒ y = ± 4 − x2
Há, portanto, duas possibilidades de funções, as duas com domínio x ∈ (−2, 2):
√
√ y = f1 (x) = 4 − x2 ou y = f2 (x) = − 4 − x2
A derivada em cada caso é:
1
x x 1
=−
f1 (x) = (4 − x2 )− 2 (−2x) = − √
2
2 f1 (x)
4−x
1
−x
x x 1
= √
=−
f2 (x) = − (4 − x2 )− 2 (−2x) = √
2
2
2
f2 (x)
4−x
− 4−x
Logo, nos dois casos,

x dy =− . dx y
Por outro lado, admitindo a existência de uma função y = f (x) derivável que satisfaça a relação x2 + y 2 = 4, podemos derivar diretamente a relação: x2 + y 2 = 4 dy =0
2x + 2y. dx dy x =− dx y

Encontramos o mesmo resutado que antes, mas sem a necessidade de explicitar a denição da função. Observe o uso da regra da cadeia, quando fazemos dy dy 2
= 2y
.
dx dx 2

Derivação implícita e taxas relacionadas

Unidade 11

Em resumo, admitindo a existência de uma função derivável y = f (x) e dada uma