Derivadas

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Derivadas
Funções são criadas para refletir o comportamento de certos entes físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos. Trata-se da derivação, um processo destinado a analisar as variações no comportamento de um conjunto de dados numéricos, largamente utilizado hoje em dia. Vamos criar os conceitos, desde o início, paraentender como estão fundamentados os princípios de derivação. Com estes teremos meios de analisar vários problemas sob a ótica infinitesimal (das pequenas variações).

Introdução (coeficientes angulares)
Seja uma reta definida pelos pontos e Existe uma relação entre as coordenadas dos dois pontos que expressa a inclinação da reta; Definimos como coeficiente angular de uma reta, a seguinte razão:O resultado desta relação é um número que expressa quanto a reta está inclinada comparada com o eixo x (da variável independente), pois quanto maior for o coeficiente angular de uma reta, mais próximo ela estará de ser uma reta vertical. O coeficiente m é constante para qualquer segmento de uma reta fixada, e é visivelmente igual à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x. Agoraimagine o que teríamos se ao invés de uma reta tivéssemos uma curva... Em uma função para a qual os pontos do gráfico não acompanham uma linha reta, geralmente temos diferentes valores de m para cada par de pontos que tomamos para fazer o seu cálculo. Isto se deve ao fato de que a inclinação varia ao longo da curva, o que nos sugere que cada pequeno segmento da curva possui um m diferente. Considerandouma função teríamos sobre o seu gráfico os pontos:

Podemos denotar a distância de

até

por

, e deste modo:

Logo, teríamos:

Esta relação nos dá a inclinação de cada segmento de reta ligando um ponto (x,f(x)) a outro estabelecida pela distância que nos fornece: Imaginando que o gráfico da função seja uma "curva suave", podemos, a partir da equação anterior, encontrar os valores dem e verificar qual a inclinação aproximada da curva para cada ponto; note que quando diminuímos o módulo de a equação se torna mais precisa, no sentido de fornecer uma melhor aproximação para o coeficiente angular de um pequeno trecho da curva, pois cada segmento que é analisado se torna menor, logo temos condições de analisar mais segmentos da curva.

Definição
Imaginemos que para cada par depontos tenhamos uma reta, com seu respectivo coeficiente angular , como vimos anteriormente existe uma maneira de relacionar a declividade a cada ponto da curva... Observe a figura a seguir, que mostra o gráfico da função e algumas retas secantes, passando pelo ponto onde e :

Figura 2 Podemos constatar que a função tem as seguintes características: A função f(x), expressa pelo gráfico,apresenta uma sinuosidade no intervalo entre e A função não apresenta qualquer ruptura ou salto neste intervalo.

Dada uma sequência de pontos

cada vez mais

próximos de , traçamos as retas , partindo do ponto fixado e passando pelos pontos correspondentes na sequência. Desta forma, podemos observar que, no caso da sequência apresentada na ilustração: A reta possui uma inclinação maior que ; Estaúltima possui uma inclinação maior que ; Além disso, observamos ainda que: Quase não se consegue distinguir a reta do gráfico da função nas vizinhanças do valor de seu domínio, ou seja, esta reta parece uma boa aproximação da função em torno de O que é importante saber é que os valores das inclinações das retas secantes se aproximam da inclinação de uma "reta tangente" ao gráfico da própriafunção no ponto a medida que diminui a distância entre um ponto da sequência e seu limite

Vemos então que uma maneira de tornar a inclinação da reta mais próxima da inclinação da função é diminuir a distância entre os pontos até o limite de sua aproximação, ou seja, se tomarmos uma sequência de pontos que ficam cada vez mais perto de , o resultado é que a partir de algum momento, os pontos tomados...
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