Derivadas...!

Derivada de fun¸˜es param´tricas co e
Fun¸˜es vetoriais e curvas param´tricas co e

Derivada das fun¸oes param´tricas c˜ e
Danilo Sande

October 25, 2013

Danilo Sande

Derivada das fun¸˜es param´tricas co e

Derivada de fun¸˜es param´tricas co e
Fun¸˜es vetoriais e curvas param´tricas co e

Derivada de fun¸oes param´tricas c˜ e
Derivada de fun¸˜es param´tricas co e
Seja y uma fun¸˜o de x definida pelas equa¸˜es: (1) ca co

x = x(t)
,
y = y (t)

t ∈ [a, b].
Suponhamos que as fun¸˜es y = y (t), x = x(t) e sua inversa co t = t(x) s˜o deriv´veis. a a
Podemos ver a fun¸˜o y = y (x), definida pelas equa¸˜es (1), como ca co uma fun¸˜o composta y = y [t(x)] e aplicar a regra da cadeia. ca Temos ent˜o: a dy
= y (t).t (x) dx Danilo Sande

Derivada das fun¸˜es param´tricas co e

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Fun¸˜es vetoriais e curvas param´tricas co e

Derivada de fun¸oes param´tricas c˜ e
Derivada de fun¸˜es param´tricas co e
Como x=x(t) e sua inversa t=t(x) s˜o deriv´veis, podemos usar o a a teorema da derivada da fun¸˜o inversa: ca Teorema da derivada da fun¸˜o inversa ca Seja y = f (x) uma fun¸˜o definida em um intervalo (a,b). Suponhamos ca que f(x) admita uma fun¸˜o inversa x=g(y) cont´ ca ınua. Se f’(x) existe e ´ e diferente de zero para qualquer x ∈ (a, b), ent˜o g = f −1 ´ deriv´vel e a e a vale: g (y ) = f 1 = f (g1(y ))
(x)
1 x (t) , y (t) x (t) =

t (x) =

assim:

dy dx dy dt dx dt =

, ( dx = 0). dt Que permite nos calcular a derivada como fun¸˜o de x. ca Danilo Sande

dy dx sem conhecer explicitamente y

Derivada das fun¸˜es param´tricas co e

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Fun¸˜es vetoriais e curvas param´tricas co e

Derivada de fun¸oes param´tricas c˜ e

Exemplo 1
Calcule a derivada x = 2t + 1 y = 4t + 3

dy dx das fun¸˜es param´tricas abaixo: co e

x = 3t − 1 y = 9t 2 − 6t x = 4