Derivadas

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática

Matemática para Químicos II

DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
A Físico-Química se interessa bastante com o efeito na mudança de uma variável de um sistema, que apresenta outras variáveis. Cada variação de uma variável, para maior ou para menor, pode se considerar um incremento àreferida grandeza. O Cálculo Diferencial é a “matemática das variações incrementais”. Ele é baseado fundamentalmente no conceito matemático conhecido como derivada. 1. PROBLEMA DA RETA TANGENTE No gráfico da função f abaixo, como se pode definir a reta tangente no ponto P(x1, f(x1))? Atribuindo-se um acréscimo ∆x para x1, obtém-se a
y
f (x 1 + ∆x )
∆y

f Q P
x1

s

abscissa de

umnovo

ponto Q da curva , cujas

coordenadas são (x1+ ∆x , f(x1+ ∆x )). A reta secante s que passa pelos pontos P e Q, tem declividade t

f (x 1 )

∆x

0

x 1 + ∆x x

ms =

∆y ∆x

. Considerando-se o acréscimo ∆x cada vez

menor ( tendendo a zero ), o ponto Q se desloca sobre a curva aproximando-se de P, e a reta secante s gira sobre o ponto fixo P,

tendendo a posição limite dareta t. Esta reta t é a tangente ao gráfico no ponto P. Portanto, podemos definir a reta tangente ao gráfico de uma função f num ponto P(x1, f(x1)) como sendo a reta, se existir, que passa por P e cuja declividade é

m t = lim

∆y ∆x

∆x →0

ou lim

f(x + ∆x) − f(x ) 1 1 ∆x →0 ∆x

Da Geometria Analítica, a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto P(x1,y1) e temdeclividade m é y – y1 = m(x – x1 )

1

2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

A derivada da função f em relação a x no ponto x = x1 é o número notado por f ’(x1) e definido por:

f ′( x1 ) = lim
se esse limite existir.

f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) ∆y = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x

Significado Geométrico: f ′( x1 ) representa a declividade da reta tangente a curva,

gráfico de f , no ponto P( x1 , f (x1 )) .

3. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA A derivada de uma função f é a função notada por f´e definida por:

f ′(x ) = lim

∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) ou lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x

Significado Geométrico: f ’(x) representa a declividade da curva,gráfico de f, em cada ponto. Notações:

f ’(x) , Dx f(x) ,

dy d , se y = f(x). f (x ) ou y’ , Dx y , dx dx

4. DERIVABILIDADE OUDIFERENCIABILIDADE

O processo de cálculo da derivada é chamado de derivação ou diferenciação. Uma função f é derivável ou diferenciável em x1 se f´(x1) existe. Uma função será derivável ou diferenciável em um intervalo aberto se ela for derivável em todo número no intervalo aberto.

5. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO

Sabemos que se f é uma função onde y = f (x ) , a derivada da f é uma funçãodefinida e notada por f ′(x ) = lim existe. Já obtivemos algumas derivadas através desse limite e constatamos que esse processo é longo embora seja o mais eficiente para funções que apresentam certas dificuldades em alguns pontos. Entretanto, já tendo esse conhecimento, podemos lançar mãos de regras
∆x → 0

f ( x + ∆x ) − f ( x ) para os valores de " x" onde esse limite ∆x

2

práticas para ocálculo de derivadas sabendo, no entanto que foram obtidas através da definição conhecida.

1. D x c = 0
2. D x x P = p x
p −1

3. Dx log a ( x) =

1 ln(a) . x

Em particular D x ln( x) =

1 x

4. D x a x = a x . ln( a )

Em particular D x e x = e x

5. D x sen ( x ) = cos( x) 6. D x cos ( x) = − sen( x)
7. D x tan ( x ) = sec 2 ( x )

8. D x cot ( x ) = − csc 2 ( x )

9. D xsec( x) = sec( x). tan( x) 10. D x csc( x) = − csc( x). cot( x) 11. D x c. f ( x ) = c. f ′( x) 12. D x ( f ( x) ± g ( x)) = f ′( x) ± g ′ ( x) 13. D x ( f ( x). g ( x) = f ( x).g ′( x) + g ( x). f ′( x)
14. D x f ( x) g ( x) f ′( x) − f ( x) g ′( x) = g ( x) g 2 ( x)

1) Encontre y’, sabendo que:
12x − 9

a) y = 7 – 6x

b) y = 3ex + 8ln x –1

c) y =

5
x2 2 − 3 x+e

d) y =

x...
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