Derivadas

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  • Publicado : 28 de maio de 2012
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Derivada O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de umafunção, o qual está presente no cotidiano das pessoas,através, por exemplo, da determinação dataxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa deredução damortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ouobjetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos queapresentam uma funçãovariando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Paraentendermos como isso se dá, inicialmente vejamosa definição matemática da derivada de umafunção em um ponto: Definição:Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada def em x0, denotada por f ’( x0), é dada por: f ' ( x0) =lim∆ x→0 f ( x0+∆ x)− f ( x0), ∆ x se este limite existir.D xrepresenta uma pequena variação emx, próximo de x0, ou seja, tomando x= x0+∆ x(∆ x= x− x0) , a derivada de f em x0pode também se expressa por f ( x)− f ( x0)Notações: f ' ( x0,) ,df dxx= x ,df dx f ' ( x0) = lim x→ x0 ( x0) .. x− x0 Interpretação física:a derivada de uma função f em um ponto x0fornece taxa de variaçãoinstantânea de fem x0. Vejamos como isso ocorre:Suponha que yseja uma função de x, ou seja, y= f ( x). Se xvariar de um valor x0até um valor x1, representaremos estavariação de x, que também é chamada de incremento de x, porD x= x1- x0,e a variação de yé dada porD y= f ( x1)- f ( x0), o que é ilustrado na figura a seguir:
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