Derivadas

Derivada O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de umafunção, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação dataxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa deredução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ouobjetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma funçãovariando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Paraentendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de umafunção em um ponto: Definição:Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por f ’( x0), é dada por: f ' ( x0) =lim∆ x→0 f ( x0+∆ x)− f ( x0), ∆ x se este limite existir.D xrepresenta uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando x= x0+∆ x(∆ x= x− x0) , a derivada de f em x0pode também se expressa por f ( x)− f ( x0)Notações: f ' ( x0,) ,df dx x= x ,df dx f ' ( x0) = lim x→ x0 ( x0) .. x− x0 Interpretação física:a derivada de uma função f em um ponto x0fornece taxa de variaçãoinstantânea de f em x0. Vejamos como isso ocorre:Suponha que yseja uma função de x, ou seja, y= f ( x). Se xvariar de um valor x0até um valor x1, representaremos esta variação de x, que também é chamada de incremento de x, porD x= x1- x0,e a variação de yé dada porD y= f ( x1)- f ( x0), o que é ilustrado na figura a