Derivada

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8. Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia)

Regra da Cadeia (primeira notação): Se e são funções diferenciáveis e é a função composta definida por , então é diferenciável e ′ é dada por

Regra da Cadeia (segunda notação): Sejam Então e duas funções diferenciáveis. e a derivada de em relação a é dada por

Observação: Ao usarmos a fórmula da segunda notação devemos ter em mente que serefere à derivada de quando é considerado como uma função de (derivada de em relação a ). Analogamente, se refere à derivada de quando é considerado como uma função de (derivada de em relação a ).

Exemplos: Calcule as derivadas das funções indicadas abaixo:

Fazendo:

tem-se

Cálculo I -

Fazendo:

tem-se

Fazendo:

tem-se

…‘•

…‘•

…‘•

Fazendo:

tem-se Ž Ž

ŽŽ

Ž

Cálculo I -

Ž‘‰

Fazendo:

Ž‘‰

…‘•

tem-se

…‘•

Ž

Ž‘‰

…‘•

Ž

…‘•

–ƒ Ž

Ž

…‘•

Ž

Fazendo:

…‘•

tem-se

…‘•

Observação Ao utilizar a regra da cadeia trabalhamos de fora para dentro. Primeiro diferenciamos a função externa (considerando a função interna como uma variável independente) e depois multiplicamos pela derivada da funçãointerna, ou seja,


Podemos então combinar a derivada das funções conhecidas com a regra da cadeia.

Cálculo I -

Derivada da Função Potência combinada com a Regra da Cadeia

±

ï

‡

Exemplos:

Cálculo I -

Derivada da Função Exponencial combinada com a Regra da Cadeia

‡

‡

Ž

Exemplos:

Ž

Ž

Ž

Ž

Cálculo I -

Derivada da Função LogarítmicaCombinada com a Regra da Cadeia

Ž

Ž‘‰ Ž

Ž‘‰

‡

Ž

‡

Exemplos:

Ž‘‰

Ž

Ž‘‰

Ž‘‰

Ž‘‰

Ž

Ž

Ž

Ž

Ž

Ž

Ž

Ž

Ž Ž

Ž Ž

Ž

Cálculo I -

Derivada da Função Seno Combinada com a Regra da Cadeia

•‡

‡

•‡

…‘•

Derivada da Função Co-Seno Combinada com a Regra da Cadeia

…‘•

‡

…‘•

•‡

Exemplos:

…‘•

…‘••‡

•‡

…‘• …‘•

Cálculo I -

9. Derivadas de Ordem Superior Em algumas ocasiões precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma função for derivável, isto é, existe ′ , podemos pensar na ′ derivada de e assim sucessivamente. Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função acordo com a tabela abaixo: de

Exemplos: I) Dada uma função calcule as derivadas de ordemsuperior até a quarta ordem:

Cálculo I -

II) Dada a equação de movimento retilíneo de uma partícula, encontre o instante em que a aceleração instantânea é nula. Para este instante calcule o valor da velocidade da partícula e a distância orientada a partir da origem do movimento.

Sendo

em metros distância orientada entre a posição da partícula e a em segundos.

origem no instanteVelocidade Instantânea :

Aceleração Instantânea :

Desejamos calcular o instante em que a aceleração é nula, ou seja,

:

Cálculo da velocidade instantânea quando

Cálculo da posição da partícula quando

Cálculo I -

10. Diferenciação Implícita
Sempre que temos uma função escrita na forma , onde a variável dependente aparece isolada de um lado e a expressão da função do outro,dizemos que é função explícita de . Caso isto não ocorra dizemos que é uma função implícita de . Exemplo de função explícita: Exemplo de função implícita:

O objetivo da derivação implícita é determinar a derivada de funções implícitas sem que haja a necessidade de explicitar a variável dependente . O processo de explicitar a variável pode ser trabalhoso ou até mesmo . A desvantagem impossívelcomo, por exemplo, na função do método é que a função derivada pode ser também uma função implícita. A ideia é derivar ambos os lados da equação e aplicar as regras de derivação, bem como a regra da cadeia quando necessário. Devemos lembrar que a variável dependente é uma função da variável independente. Se é uma função de então pela regra da cadeia tem-se:

•‡ …‘•

…‘•

Ž

Ž

Ž‘‰ Ž...
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