Demonstração de Formulas de área comprimento e volume através de Integral Definida

Engenharia de Produção – Habilitação Mecânica

Demonstração de Formulas de área comprimento e volume através de Integral
Definida

Welton Weber

São Bento do Sul
Agosto/2013
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Welton Weber

Demonstração de Formulas de área comprimento e volume através de Integral
Definida

Trabalho a ser apresentado na disciplina de Calculo B no curso de Engenharia de Produção – habilitação mecânica da Universidade do Estado de Santa
Catarina, UDESC (CEPLAN).
Prof ª: Rodrigo Schmdt

São Bento do Sul
28/08/2013

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SUMARIO

1 Área de regiões planas...............................................................................................03
2. Volume do Sólido de Revolução.............................................................................04

3.Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas.......................................05
4. Área de uma Superfície de Revolução.................................................................07
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................08

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1.Área de regiões planas
Na introdução do estudo de integral, vimos como é possível calcular a área sob o gráfico de uma função contínua e positiva f, definida em um intervalo [a, b]. A solução deste problema motivou a definição de integral como limite de somas de Riemann.
Vamos abordar agora o problema da determinação de áreas de regiões planas mais gerais, limitadas lateralmente pelas retas verticais x = a e x = b, superiormente por uma função contínua f e inferiormente por outra função contínua g, definidas em um intervalo [a, b] e tais que g(x) ≤ f(x), em
[a, b] .
Como g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], ent˜ao, f(x) − g(x) ≥ 0 em [a, b]. Assim,

Vamos provar que a integral acima fornece a área A, da região hachurada. Para isso vamos construir somas de Riemann para a função h(x) = f(x) − g(x).
Considere uma partição a = x0 < x1< ... < xi−1< xi < ... < xn = b do