Decomposicao qr

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Capítulo III Factorização QR e mínimos quadrados

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Aula 8. Projectores e Factorização QR
Seja F um subespaço de dimensão k e {u1 , . . . , uk } uma sua base ortonormada. Recorde-se que a projecção ortogonal de v sobre o subespaço F pode ser escrita na forma

C(P) v • Pv•

vF = < u1 , v > u 1 + · · · + < uk , v > u k .
Seja

Q = [ u1 · · · uk ] ∈ IRn×k . 

Temos que, para v∈ IRn

 uT 1  .  QQT v = [ u1 · · · uk ]  .  v . uT k  T  u1 v  .  = [ u1 · · · uk ]  .  .  < u1 , v >   . . = [ u1 · · · uk ]   . < uk , v > = < u 1 , v > u1 + · · · + < u k , v > uk = vF ,  uT v k

Figura 1. Projecção ortogonal.
Desta forma, chamamos à matriz

I − QQT = I − A(AT A)−1 AT ∈ IRn×n ,
matriz da projecção ortogonal sobre F ⊥ . Veriquemos que vF ⊥ = (I − QQT )vé, de facto, a projecção ortogonal de v sobre F ⊥ . Seja f ∈ F ⊥ . Fazendo o produto interno com v − (I − QQT )v temos

< v − (I − QQT )v, f > = v − (I − QQT )v
T T

T T

f

= v − v (I − QQ ) f = v T f − v T f + v T QQT f = v T (QQT f ).
(Note-se que I − QQT é simétrica.) Daqui resulta que

pelo que

vF = QQT v.

A esta matriz QQT chama-se a projecção ortogonal sobre F. Seja Q amatriz da decomposição QR de uma matriz A ∈ IRn×k , ou seja, considere-se, agora, A = QR com R ∈ IRk×k uma matriz triangular superior não singular. Note que, isto signica que cada coluna de A é a combinação linear das colunas de Q. Desta forma, como A = QR é equivalente a Q = AR−1 , vem que

< v − (I − QQT )v, f > = 0 se f ∈ F ⊥ .

É fácil de constatar que QQT e I −QQT são matrizes que vericamP 2 = P .

QQT = (AR−1 )(AR−1 )T = A(RT R)−1 AT .

= (AR−1 )((R−1 )T AT )

Denição: Uma matriz P ∈ IRn×n que verica
P2 = P
chama-se um projector. Vimos, também, que as matrizes QQT e I −QQT projectam ortogonalmente sobre F e F ⊥ , respectivamente, o que motiva a seguinte denição. se

= A(R−1 (R−1 )T )AT = A(R−1 (RT )−1 )AT

Mas, porque QT Q = I , AT A = RT QT QR = RT R e

QQT =A(AT A)−1 AT ∈ IRn×n .
Vamos, agora, tentar identicar uma matriz de projecção ortogonal sobre F ⊥ , o complemento ortogonal do subespaço F . Dado o vector v , sabemos que

Denição: Um projector P ∈ IRn×n diz-se ortogonal

v = vF + vF ⊥ ,
em que vF ⊥ designa a projecção ortogonal de v sobre F ⊥. Logo, vF ⊥ = v − vF

F1 = {P x, x ∈ IRn } e F2 = {(I − P )x, x ∈ IRn }
são subespaçosortogonais. Existe uma caracterização necessária e suciente para um projector ser ortogonal. Fizemos menção, anteriormente, ao facto de QQT ser uma matriz simétrica. O mesmo sucede com I −QQT e, como se prova de seguida, com qualquer projector ortogonal.

= v − QQT v = (I − QQT )v.

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ortogonal se e só se P = P T .

Teorema: Um projector P ∈ IRn×n é um projector

< a1 >⊆< a1 , a2 >⊆ . . .
Aideia da factorização QR é construir uma sucessão de vectores ortonormados q1 , q2 , . . . que geram estes espaços sucessivos. Suponhamos que A ∈ IRm×n (m ≥ n) tem característica completa n. Queremos que a sucessão q1 , q2 , . . . tenha a seguinte propriedade:

Demonstração. Se P = P T então o produto interno
entre um vector P x ∈ F1 e um vector (I − P )y ∈ F2 é zero, isto é,

< (I − P )y, P x> = ((I − P )y)T (P x) = y T (I − P )T (P x) = y T ((I − P )P )x = 0,
o que mostra a ortogonalidade entre os subespaços F1 e F2 e portanto P é um projector ortogonal. No outro sentido, se P é projector ortogonal então P é da forma QQT , onde as colunas de Q são ortonormadas. Logo, P T = P . Vamos ver que se P é um projector ortogonal temos de facto P = QQT , onde as colunas de Q sãoortonormadas. Vamos usar a DVS. Suponhamos que P projecta em F1 e F2 é o subespaço ortogonal a F1 . Podemos construir a DVS de P da seguinte forma. Seja {q1 , q2 , . . . , qm } uma base ortonormada para IRm , onde {q1 , q2 , . . . , qn } é uma base para F1 e {qn+1 , . . . , qm } uma base para F2 . Para j ≤ n, temos P qj = qj e para j > n temos P qj = 0. Seja Q a matriz ortogonal de colunas qj , 1 ≤ j ≤...
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