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Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
Uma equação diferencial linear de ordem n tem a forma:
an

dny
d n −1 y
dy
+ a n −1 n −1 + ... + a1
+ a 0 y = g (x )
n
dx
dx
dx

onde a n , a n −1 , ..., a1 , a 0 e g (x ) dependem apenas de x ou são constantes.
Se g (x ) ≡ 0 , então a equação é homogênea; em caso contrário é não-homogênea.
Uma equação diferencial linear temcoeficientes constantes se todos os coeficientes a i
na equação acima são constantes; se pelo menos um dos coeficientes não é constante a
equação é de coeficientes variáveis.
Soluções para Equações Lineares
Dizemos que um conjunto de funções f 1 (x ) , f 2 (x ) ,..., f n (x ) é linearmente
dependente em um intervalo I se existem constantes C1 , C 2 ,..., C n , não todas nulas,
tais que
C1 f 1 ( x) + C 2 f 2 ( x ) + ... + C n f n ( x ) = 0

para todo x no intervalo I.
Se a única solução da equação acima é C1 = C 2 =...= C n = 0 , então o conjunto de
funções f 1 (x ) , f 2 ( x ) ,..., f n ( x ) é dito linearmente independente no intervalo.
Exemplos: As funções y1 = e x , y 2 = e 2 x e y 3 = 3e x são linearmente dependentes, pois
para C1 = −3 , C 2 = 0 e C 3 = 1 tem-se: C1 y1 + C 2 y 2+ C 3 y 3 = −3e x + 0.e 2 x + 3e x = 0 . É fácil
verificar neste caso, que as funções y1 = e x e y 3 = 3e x são múltiplas uma da outra, ou
seja, y 3 = 3 y1 , o que as torna linearmente dependentes.
Já as funções y1 = 1 , y 2 = x e y 3 = x 2 são linearmente independentes, pois só se
obtém C1 y1 + C 2 y 2 + C 3 y 3 = 0 , se e somente se C1 = C 2 = C 3 = 0 e C1 + C 2 x + C 3 x 2 ≠ 0 se
algum Ci for diferente de zero. Além disso, nenhuma das soluções é múltipla de uma
outra.
A equação diferencial linear homogênea de ordem n sempre tem n soluções
linearmente independentes. Se y1 (x ) , y 2 (x ) ,..., y n (x ) representam essas soluções,
então a solução geral é dada por : y (x ) = C1 y1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + ... + C n y n (x ) , onde C1 , C 2 ,...,
C n são constantes arbitrárias(Princípio da Superposição).
Além disso, uma equação diferencial linear homogênea sempre possui a solução
trivial y = 0 .

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No caso das equações diferenciais lineares não-homogêneas de ordem n sua solução
é obtida da solução da equação homogênea associada a ela, adicionada de uma solução
particular, ou seja, se y1 (x ) , y 2 (x ) ,..., y n (x ) representam as soluções da equação
homogêneaassociada (que por sua vez são linearmente independentes), então a solução
geral é dada por : y (x ) = C1 y1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + ... + C n y n (x ) + y p (x ) , onde C1 , C 2 ,..., C n são
constantes arbitrárias.

Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes
Consideremos a equação diferencial linear homogênea:
an

dny
d n −1 y
dy
+ a n −1 n −1 + ... + a1
+ a0 y = 0
n
dxdx
dx

(1)

onde a n , a n −1 , ..., a1 , a 0 são constantes.
Para n = 1 temos: a1

dy
+ a 0 y = 0 . Separando as variáveis,
dx
a
dy
= − 0 dx
y
a1

e integrando em ambos os lados, obtemos
ln y = −

a0
x+K
a1

ou seja,
y = Ce mx ,

onde m = −

a0
a1

Assim, a solução da equação diferencial a1 y' + a0 y = 0 é y = Ce mx , onde m é a raiz da
equação a1 m + a0 = 0 .Para n qualquer, suponhamos que y seja dada por y = Ce mx . Derivando em relação
a x até a n-ésima ordem, vamos ter:
dy
= mCe mx
dx
d2y
= m 2 Ce mx
dx 2
d3y
= m 3 Ce mx
3
dx

M
n

dy
= m n Ce mx
n
dx

Substituindo esses valores na equação (1), tem-se:
a n m n Ce mx + a n −1 m n −1Ce mx + ... + a1 mCe mx + a 0 Ce mx = 0

isto é,

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(

)

Ce mx a n n m + a n −1 m n−1 + ... + a1 m + a 0 = 0

Como Ce mx é diferente de zero para valores reais de x, pode-se escrever:
a n n m + a n −1 m n −1 + ... + a1 m + a 0 = 0

que é chamada de equação característica ou equação auxiliar da equação dada.
Em relação à equação característica, temos três casos a considerar:

Caso I – A equação característica admite somente raízes reais e distintas.
Se m1 , m 2 , m3 ,...
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