Cálculo de Área a partir de Integrais

Chapter 1
Aplicações da Integral Simples
1.1

Área de regiões planares

Seja R a região limitada pelo gráfico da função y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) ≥ 0 para todo [a, b]. A área da região R é dado pela fórmula: b A=

f (x)dx. a y y y = f (x) y = f (x)
R

O

a

b

O

x

a x1 x2

xi xi+1 b = xn

x

DEMONSTRAÇÃO
Tomemos números x0 , x1 , x2 , · · · , xn ∈ [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b e, x∗ , x∗ , · · · , x∗ tais que x∗ ∈ [xi−1 , xi ]. Então
1
2 n i

n

A ∼ (x1 − x0 ) f (x∗ ) + (x2 − x0 ) f (x∗ ) + · · · + (xn − xn−1 ) f (x∗ ) =
=
1
2
n
∆x1

∆x2

∆xn

2

∆xi f (x∗ ) i i=1

Cap.1: Aplicações da Integral Simples

Sec.1: Área de regiões planares

n

∴A=

b

∆xi f (x∗ ) = i lim

max ∆xi →0

i=1

f (x) dx a Resumindo:
• Seja R a região delimitada pela curva y = f (x), f contínua em [a, b], pelas retas verticais x = a e x = b, e eixo x, então a área A de R é dado por b |f (x)|dx.

A= a • Em particular se R é a região delimitada pela curva y = f (x), pelas retas verticais

x = a e x = b, e eixo x, tais que f contínua em [a, b], f (x) ≤ 0 para a < x < c e f (x) ≥ 0 para c < x < b então a área A de R é dado por b A= a c

|f (x)|dx = −

b

f (x)dx + a f (x)dx. c • Seja R a região delimitada pela curva x = g(y), g contínua em [c, d], pelas retas horizontais y = c e y = d, e eixo y, então a área A de R é dado por d A= c |g(y)|dy.

• Seja R a região delimitada pelas curvas y = f1 (x), y = f2 (x) interceptando nos pontos com abscissas x = a e x = b, então a área A de R é dado por b A= a |f1 (x) − f2 (x)| dx.

Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso

3

Cap.1: Aplicações da Integral Simples
Sec.1: Área de regiões planares
• Seja R a região delimitada pelas curvas x = g1 (y), x = g2 (y) interceptando nos pontos com ordenadas y = c e y = d, então a área A de R é