Cálculo de derivadas e integrais

Lista1 - CFVV - prof.

Luis Alexandre Chiconello

Turma: 4◦ Semestre Engenharia(Turmas :

)

Civil e Mecˆnica a Assunto : Revis˜o - C´lculo de Derivadas e de Integrais a a
1 Calcule a derivada de cada uma das fun¸˜es dadas abaixo: co 4
(b) f (x) = √ (x = 0) x (a) f (x) = 3x5 +4x3 +2x+1 x3 1 − x2

(e) f (x) =

(f) f (x) =

(c) f (x) = x2 ·cos(x)

A
(A, B e C constantes)
B + C · ex

(g) f (x) =

(d) f (x) = x·ln(x)

2 − sen(x)
2 + cos(x)

Lembrete : Regra da Cadeia: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) · g (x) ou na nota¸˜o de Leibniz ca dy dy du
=
· dx du dx

2 Calcule as derivadas:
(a) f (x) = (x3 + 2x)3

(b) f (x) =

(e) f (x) = x2 · sen(3 − 5x)

(i) f (x) =

cos(x) sen2 (x)

√ x4 + 1

(c) f (x) = sen2 (x)

(f) f (t) = esen(t)

(j) f (x) = t3 · e−3t

(d) f (x) = cos(sen(x))

(g) f (x) = cos(ex )

(h)f (x) = ex · cos(2x)

(k) f (x) = ln3 (x2 + 1)

(L)f (x) = sen(tg2x)

d2 y d2 y
3 Seja y = e2x . Verifique que :
− 4y = 0 , onde representa a derivada segunda de y em dx2 dx2 rela¸˜o ` x. ca a
4 Determine o valor de α de modo que y = eα·x verifique a equa¸ao : c˜ d2 y dy − 3 + 2y = 0 dx2 dx

5 Calcule as integrais indefinidas dadas abaixo:
(a)

x5 dx

(g)

x2 dx 1 + x3

(b)

1 dx x3
(h)

e5x dx

(c)

5 dx 4 + x2

(i)

(d)

x5 + x + 1 dx x2

sen(x) dx cos2 (x)

(j)

Lembrete : Integra¸˜o por partes: ca (e)

x dx 1 + x2

2

x · ex dx

(k)

udv = u · v −

(f)

x dx 1 + x4

cos3 (x) · sen(x)dx

vdu

6 Usando integra¸ao por partes , calcule as integrais indefinidas abaixo: c˜ (a)

x · cos(x)dx

(b)

ex · sen(x)dx

(c)

(d)

(x + 1) · cos(x)dx

(e)

x2 · e−x dx

(f)

ln(x)dx (Sugest˜o: Fa¸a :u = ln(x) e dv = dx) a c

x2 · ln(x)dx

7 O deslocamento de uma part´ ıcula em uma corda vibrante ´ dado pela sua posi¸ao em fun¸ao do e c˜ c˜ 1 tempo por S(t) = 10 + · sen(10π · t), com S , em cent´