cálculo 3

Cap´ıtulo 23
Resolvendo Integrais pelo M´ etodo de
Substitui¸c˜
ao
23.1

M´ etodos da substitui¸c˜ ao em integrais indefinidas

O teorema fundamental do c´alculo permite que se resolva rapidamente a integral
∫

b

f (x) dx, a desde que se conhe¸ca uma primitiva F para a fun¸c˜ao f .
Como vimos no cap´ıtulo anterior, em alguns casos, achar uma primitiva ´e bastante f´acil: basta olharmos uma tabela de derivadas ao contr´ ario. Assim, conclu´ımos imediatamente que
∫
d cos(x) dx = sen(x) + C , visto que,
(sen(x) + C) = cos(x) . dx ∫
Embora a integral cos(2 x) dx seja semelhante `a anterior, neste caso existe uma pequena diferen¸ca. Como d (sen(2 x) + C) = 2 cos(2 x) , dx a primitiva procurada ser´a dada por sen(2 x)
+C,
2 e assim,

∫ cos(2 x) dx =

sen(2 x)
+C.
2

Repare que para obter este resultado n˜ao foi suficiente usar uma tabela de derivadas ao contr´ario. Para resolver esta u
´ltima integral foi necess´ario perceber que sen(2 x) difere da derivada de cos(2 x) apenas por um fator constante, reduzindo a tarefa de achar uma primitiva para esta u
´ ltima fun¸c˜ao a uma pequena manipula¸c˜ao alg´ebrica.
No entanto, a tarefa de achar primitivas e, portanto, de integrar uma fun¸c˜ao nem sempre ´e t˜ao simples como o exemplo acima parece indicar. Ao contr´ ario, na maioria dos casos ´e imposs´ıvel determinar rapidamente, com uma simples olhada, a primitiva de uma fun¸c˜ ao, o que nos leva a estudar m´etodos gerais de integra¸c˜ao.
Estes m´etodos, em geral, se originam das regras de deriva¸c˜ao. A regra da cadeia para a derivada de fun¸c˜oes compostas d´a origem ao chamado m´etodo da substitui¸c˜ao ou de mudan¸ca de vari´avel, que ´e um dos m´etodos de integra¸c˜ao mais poderosos.
Na introdu¸c˜ao desta se¸c˜ ao, foi poss´ıvel concluir que
∫
sen(2 x)
+C,
cos(2 x) dx =
2
∫
∫porque percebemos que, de alguma maneira, a integral cos(2 x) dx estava relacionada com a integral conhecida cos(x) dx = sen(x) + C.