Cálculo 1 - Integrais Indefinidas

Universidade do Estado do
Rio Grande do Norte

Bacharelado em Ciência da Computação
Núcleo Nova Cruz
Disciplina: Cálculo 1
Turma: 2012.2
Professor: Rodolfo Bezerra
Aluna: Maria Emília do N. Salustino

Universidade do Estado do Rio Grande do Norte
Bacharelado em Ciência da Computação

Cálculo 1

Maria Emília do Nascimento Salustino

Trabalho apresentado em cumprimento das exigências da disciplina de Cálculo 1 do curso bacharelado em Ciências da Computação para obtenção da nota avaliativa da 3ª Unidade.

Nova Cruz – RN
Março 2013
Integrais indefenidas

Antiderivadas

Sendo f (x) e F (x) defenidas em um intervalo I ⊂ R, dizemos que :
F éuma antiderivada ou uma primitiva de f , em I, se F ‘(x) = f (x)

para todo x ∈ I. Ou seja, F éantiderivada ou primitiva de f se F éuma função cuja derivada é f .
Exemplos:

f (x) primitiva de f (x)
3x2
x3
2
2x ex ex sen x
- cos x

Observações: Se F é uma antiderivada de f em I, e c éuma constante, então F + c também é uma antiderivada de f em I.
De fato, se F’(x) = f(x), para todo x ∈ I, então, [F(x) + c]’ = F’(x) = f(x), portanto F(x) + c também é uma antiderivada de f(x) em I.
Assim, por exemplo x3, x3 + 5 e x3 são primitivas de 3x2.
Se F1 e F2 são antiderivada de f, em I ⊂ R, então existe c ∈ R, tal que F1(x) = F2(x) + c, para todo x ∈ I.
Se f é contínua no intervalo [a, b] e f’ (x) = 0 para todo x ∈ ]a, b[, então, f é constante em [a, b], ou seja, existe c ∈ R tal que f(x) = c para todo x ∈ [a, b].

(i) F (x) = x3 \ 3 e uma primitiva da função f(x) = x2, pois F ' (x) = 1/3 3x2 = x2 = f(x).
(ii) As funções G(x) = x3/3 + 4, H(x) = 1/3 (x3 + 3) também são primitivas da função f(x) = x2, pois G ' (x) = H' (x) = f(x).
(iii) A função F(x) = 1/2 sen 2x + c, onde c e uma constante, e primitiva da função f(x) = cos 2x.
(iv) A função F(x) = 1/2x2 e uma primitiva da função f(x) = -1/x3 em qualquer intervalo que não contem a origem, pois para todo x ≠ 0, temos F