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Cálculo Diferencial:1. Contexto Histórico:A evolução histórica do conceito de taxa de variação traduziu-se geometricamente nas tentativas de se encontrar um processo para se traçar uma tangente a um gráfico em um ponto dado, dificuldade esta conhecida como ‘problemas da tangente’. Possibilitando um grande desenvolvimento no estudo de taxas de variação, o matemático francês Pierre de Fermat(1601-1665), resolveu o problema da tangente de maneira relativamente simples. E embora não dispusesse de uma notação apropriada para a sistematização desse conceito, suas idéias representam o seu embrião e, de maneira mais ampla, o embrião do que se denomina hoje cálculo diferencial, cuja invenção está associada aos nomes de Newton e Leibniz no século XVII. Hoje em dia, o conceito de taxa de variação éusado nas situações mais diversas, como no mercado de capitais para a previsão do comportamento do valor das ações de uma empresa; na medicina, para a avaliação da melhora ou do agravamento do quadro clínico de um paciente pela estimativa da taxa de variação da quantidade de uma substância no sangue, obtida pela coleta periódica de sangue em um determinado período; para a dinâmica defuncionamento de uma represa que controla a abertura de suas comportas a partir da taxa de variação do índice pluviométrico, etc. ___________________________________________________________________________________ 2. Noção de Limite:O estudo do conceito de limite é importante em todo o cálculo diferencial, uma área da Matemática que teve início com o trabalho de Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1716), para resolver problemas de Mecânica, de Geometria, de Economia, de Astronomia entre outros. Consideremos uma figura de forma retangular de área igual a 16.

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Vamos colorir metade dessa figura, em seguida, metade da metade que sobrou, depois metade da parte que ainda sobrou, e assim por diante. Observe como ficariam as cinco primeiras figuras pintadas.

16 =8 2

16 16+ = 12 2 4

16 16 16 + + = 14 2 4 8

16 16 16 16 + + + = 15 2 4 8 16

16 16 16 16 16 + + + + = 15,5 2 4 8 16 32

Organizando os dados por meio de uma tabela, temos:
Números de partes (x) Área da parte colorida (y)

0 0

1 8

2 12

3 14

4 15

5 15,5

6 15,75

Note que, repetindo esse processo sucessivamente, o número de partes coloridas (x) cresce indefinidamente e aárea da parte colorida (y) correspondente se aproxima da figura toda. Por isso, dizemos que a área da parte colorida tende a 16.
x →∞

lim y = 16

Existem outras situações em que necessitamos estudar a função quando x cresce infinitamente. Exemplos:
1 1 1 1 = 0,5 b) 2 = 0,25 c) 10 = 0,00098 d) 40 = 0,0000000000009094947 2 2 2 2 Observe que, quando dividimos um número real por outro cada vezmaior, temos um quociente que se aproxima de zero. Dessa forma, podemos dizer que:

a)

lim
b) 21 = 2 b) 22 = 4 c) 210 = 1024

1 =0 x →∞ 2 x
d) 230 = 1.073.741.824

Note que, quando x cresce indefinidamente no cálculo da potência 2x , obtemos um valor que tende ao infinito. Dessa forma, podemos dizer que:
x →∞

lim 2 x = ∞___________________________________________________________________________________ 3. Derivada de uma função num ponto:Observe a figura. Nela vemos o gráfico de uma função y = f(x), bem como dois valores destacados de seu domínio, a e a + ∆x. y y = f(x) f(a + ∆x)

∆y
f(a)

o a a + ∆x

x

∆x ∆x é um acréscimo (ou incremento) da variável livre x. ∆y = f(a + ∆x) – f(a) é um acréscimo (ou incremento) da variável dependente y. ∆y A razão é a razão dessesincrementos e por isso chamamos de razão incremental. ∆x Fazendo ∆x tender a zero, dizemos que a função é derivável no ponto a se existir e for finito o
limite:

∆y f(a + ∆x) - f(a) = lim ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x lim

Esse limite é o valor da derivada da função no ponto a. Indicamos por f ’(a). Então a derivada de y = f(x) no ponto a é: f(a + ∆x) - f(a) se existir e for finito esse limite ∆x...
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