Curvas cônicas

Páginas: 5 (1083 palavras) Publicado: 8 de outubro de 2011
CURVAS CÔNICAS

Elaborado pelo Eng. Alex Krummenauer

2007

2 1 CURVAS CÔNICAS A elipse, a parábola e a hipérbole são curvas cônicas que possuem propriedades que as tornam importantes em várias aplicações (Figura 1).

Figura 1: Curvas cônicas 1.1 Elipse A elipse é uma curva fechada para a qual existem dois pontos especiais, os focos. Para construir uma elipse no papel fixam-se doispercevejos nos focos F1 e F2, amarrando-se neles as extremidades de um fio não esticado (Figura 2). Com um lápis estica-se o fio e mantendo sempre o fio esticado desliza-se a ponta do lápis sobre o papel. A ponta do lápis desenhará a elipse. E para qualquer ponto P a soma das distâncias desse ponto em relação a cada foco será sempre igual ao comprimento do fio, que será igual ao eixo maior da elipse(2a).

Figura 2: Construção da elipse

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No caso particular onde o ponto P está localizado sobre o eixo menor temos a possibilidade de representar a relação entre distância focal, eixo maior e eixo menor através de um triângulo retângulo (Figura 3) e desta forma poder relacioná-los.

Figura 3: Elipse A equação descreve o comportamento da elipse. Existe um caso particular chamado de falsaelipse, ou oval regular, onde a distância focal possui a mesma dimensão do eixo menor. Uma aplicação óptica vê-se no dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado (Figura4).

Figura 4: Aplicação ótica da elipse

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Uma ilustração acústica da propriedade de reflexão da elipse pode encontrar-se em salas que têm a forma de meio elipsóide (um elipsóide é um sólido que se obtém rodando uma elipse em torno do seu eixo, isto é, da reta definida pelos dois focos). Se duas pessoas se colocarem nos focos e uma delas falar, mesmo que seja baixo, a outra ouviráperfeitamente, ainda que a sala seja grande e haja outros ruídos (Figura 5). Existem salas deste tipo (às vezes chamadas “galerias de murmúrios”) em vários edifícios públicos na Europa e nos Estados Unidos.

Figura 5: Aplicação acústica da elipse 1.2 Parábola A parábola é uma curva com um foco (F) e possui todos os pontos eqüidistantes do foco e de uma reta de diretriz (d). Parábola de foco F e diretrizd é o conjunto de todos os pontos cuja distância à reta d é igual à distância ao ponto F. Na Figura 6, se PD = PF, então P é um ponto da parábola de foco F e diretriz d.

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Figura 6: Parábola A equação de segundo grau, y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c , descreve o comportamento da parábola. Uma aplicação óptica são os faróis dos automóveis e das motocicletas, que são espelhados por dentro e em que secoloca a lâmpada no foco (Figura 7).

Figura 7: Aplicação ótica da parábola Uma ilustração acústica da propriedade de reflexão da parábola é a seguinte: A partir de um ponto qualquer tracemos um segmento de reta paralelo ao eixo da parábola. Este segmento encontra a parábola num ponto, e se a partir deste traçarmos outro segmento que faça com a curva um ângulo igual ao do primeiro segmento, osegundo segmento passa pelo foco. Esta propriedade faz com que a parábola tenha várias aplicações práticas. Um exemplo são as vulgares antenas parabólicas, que concentram num aparelho receptor os sinais vindos de um satélite de televisão (Figura 8).

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Figura 8: Aplicação acústica da parábola 1.3 Hipérbole A hipérbole é uma curva com dois ramos e dois focos. Dado um número positivo d e doispontos F e F’, chama-se hipérbole ao lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a F e F’ é sempre igual a d (Figura 9).

Figura 9: Hipérbole Assim, P, P’, P”, ... são pontos da hipérbole, visto que PF − PF’ = P’F − P’F’ = P”F − P”F’ = ... = d. Do mesmo modo, Q, Q’, Q”, ..., satisfazendo as condições, QF’ − QF = Q’F’ − Q’F = Q”F’ − Q”F = ... = d

7 também pertencem à hipérbole,...
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