Curvas cônicas

CURVAS CÔNICAS

Elaborado pelo Eng. Alex Krummenauer

2007

2 1 CURVAS CÔNICAS A elipse, a parábola e a hipérbole são curvas cônicas que possuem propriedades que as tornam importantes em várias aplicações (Figura 1).

Figura 1: Curvas cônicas 1.1 Elipse A elipse é uma curva fechada para a qual existem dois pontos especiais, os focos. Para construir uma elipse no papel fixam-se dois percevejos nos focos F1 e F2, amarrando-se neles as extremidades de um fio não esticado (Figura 2). Com um lápis estica-se o fio e mantendo sempre o fio esticado desliza-se a ponta do lápis sobre o papel. A ponta do lápis desenhará a elipse. E para qualquer ponto P a soma das distâncias desse ponto em relação a cada foco será sempre igual ao comprimento do fio, que será igual ao eixo maior da elipse (2a).

Figura 2: Construção da elipse

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No caso particular onde o ponto P está localizado sobre o eixo menor temos a possibilidade de representar a relação entre distância focal, eixo maior e eixo menor através de um triângulo retângulo (Figura 3) e desta forma poder relacioná-los.

Figura 3: Elipse A equação descreve o comportamento da elipse. Existe um caso particular chamado de falsa elipse, ou oval regular, onde a distância focal possui a mesma dimensão do eixo menor. Uma aplicação óptica vê-se no dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado (Figura 4).

Figura 4: Aplicação ótica da elipse

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Uma ilustração acústica da propriedade de reflexão da elipse pode encontrar-se em salas que têm a forma de meio elipsóide (um elipsóide é um sólido que se obtém rodando uma elipse em torno do seu eixo, isto é, da reta definida pelos dois focos). Se duas pessoas se colocarem nos focos e uma delas falar, mesmo que seja baixo, a outra ouvirá