Crank-nicolson

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Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Engenharia Química e Engenharia de Alimentos
Disciplina de Simulação de Processos
Turma 0845 - Semestre 12.1
Prof. Ricardo A. F. MachadoProblema 5
Explanação
Embora a formulação implícita para a resolução de EDP's apresente algumas vantagens em relação a
formulação explicita, existe um problema associado que está relacionado aaproximação de primeira
ordem no tempo enquanto no espaço a aproximação é de segunda ordem.
O método de Crank-Nicolson fornece um sistema implícito alternativo de segunda ordem, tanto para a
aproximaçãotemporal como para a aproximação espacial. O método consiste no emprego de uma
aproximação por diferenças no ponto médio do incremento do tempo, como pode ser observado na
Figura 1 abaixo, onde Orepresentam pontos envolvidos em diferenças no espaço e X pontos envolvidos
em diferenças no tempo:

tl+1
tl+1/2
tl

xi -1

xi

xi+1

Figura 1. Esquema do método de Crank-Nicolson paraaproximação de EDP's por diferenças finitas.

A primeira derivada no tempo pode ser aproximada em tl+1/2 por (Eq. 2.12):


(2.12)



A segunda derivada no espaço pode ser determinada no pontomédio do incremento temporal,
conforme a equação (2.13):


(∆ )

+

(2.13)

(∆ )

Substituindo as equações (2.12-13) na equação (2.1) e agrupando os termos obtemos a equação (2.14):


−2(1 + )



=

+ 2(1 − )

+

(2.14)

onde:
= Δ /(Δ )
1

As C.C. no ponto imaginário
=
e
=
podem ser impostas no primeiro e
no último nó interior. Desta forma, para o primeiro nóinterior temos a equação (2.15), a seguir:
2(1 + )



+ 2(1 − )

=

+

+

+ 2(1 − )

+

(2.15)

e para o último nó interior, temos a equação (2.16):


+ 2(1 + )

=

+(2.16)

Tal conjunto de equações, da mesma forma que na abordagem implícita simples (com aproximação
temporal de ordem), resultam num sistema de equações algébricas triadiagonais.

Exemplo:...
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