Cosmeticos da amazonia

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LIMITES DE UMA FUNÇÃO
Introdução

Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido mas que jamais pode ser ultrapassado.

Exemplos:

a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha.

b) Um engenheiro ao construirum elevador estabelece o limite de carga que este suporta.

c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a aeronave entre em órbita.

É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode-se aproximar tanto quanto se desejar.

Definição

Dizemos que o limite da função f (x)quando x tende a a é igual ao número real L se, e somente se, os números reais f (x) para os infinitos valores de x permanecerem próximos de L, sempre que x estiver muito próximo de a.

Indica-se:
lim f (x) = L
x ( a

Exemplos:

1) Consideremos o gráfico da função f : R( R, definida por f (x) = x + 2

De acordo com o exposto, podemos dizer que:

• O limite de f (x) quandox tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos:

lim f (x) = 5
x ( 3 -

• O limite de f (x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos:

lim f (x) = 5
x ( 3 +

Em vez das duas indicações anteriores, podemos utilizar a seguinte representação única.

lim f (x) = 5
x ( 3

Lê-se: O limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a5.

2) Consideremos também o gráfico da função f : R( R, definida por :

x se x ≤ 3
f (x) = x + 2 se x > 3

Observe:

• Quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f (x) se aproxima de 3, isto é:

lim f (x) = 3
x ( 3 –

• Quando x se aproxima de 3 pela direita, f (x) se aproxima de 5, isto é:

lim f (x) = 5x ( 3 +

Estes limites são chamados de limites laterais e, como são diferentes, dizemos que neste caso não existe limite de f(x) quando x tende a 3.

Para que exista o limite, f (x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se aproxima de a pela direita ou pela esquerda, isto é:

lim f (x) = lim f (x) = lim f (x)
x ( a - x( a + x ( a

3º ) Calcular lim x² + x – 3 e interpretar o resultado.
x ( 1

Exercícios

1) Calcule os seguintes limites:

a) lim (x² - 5x + 4)
x ( 2

b) lim (x³ + 1)
x ( - 2

c) lim (x4 + 5)
x ( 0

d) lim [pic]
x ( 4

e) lim (4x³ - x² + x – 1)
x ( 0

f) lim (1 – 4x²)
x ( 3

g) lim [pic]
x ( 1

2) Dada afunção f (x) = 4x – 3, calcule:

a) lim f(x) b) lim f(x)
x ( 2 x ( 0

c) lim f(x) d) lim f(x)
x ( 5 x ( - 1

3) Considere o gráfico da função:

Calcule:

a) lim f(x) b) lim f(x) c) lim f(x)
x ( 7 + x ( 7 – x ( 4 +

d) lim f(x) e) lim f(x) f) lim f(x)
x ( 4 - x ( 0 x( - 1

Propriedades dos Limites

O cálculo de um limite fica mais simples a partir de suas propriedades operatórias.
Sejam as funções f e g tais que lim f (x) = L e lim g (x) = M, então valem as seguintes propriedades.

1ª) Limite de uma constante

O limite de uma constante é a própria constante, isto é:

lim k = k

x ( a

Ex.:

a)lim – 1 = b) lim 4 = c) lim [pic] =

2ª) Limite da soma

O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções, isto é:

lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L + M

x ( a x ( a x ( a

Ex.:

a) lim (x + 3) =

x ( 2

b) lim (x² + x + 1) =

x ( - 1

3ª) Limite da diferença

O limite da diferença...
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