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Gradiente Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis e as “ parciais “ de z = f(x, y).
Seja P0 (x0, y0), um ponto do plano xy; a projeção de “z” no plano dada por curvas de nível e as derivadas calculadas no ponto Po, plano R2 chamamos de Vector Gradiente ao seguinte vector :

O Vetor Gradiente é ortogonal à reta tangente a uma curva de nível pelo ponto P0 (x0, y0).
Graficamente:

Analogamente, quando temos w = f(x, y, z), o Vetor Gradiente será ortogonal ao plano tangente à uma superfície de nível por um ponto P (x0, y0, z0) do espaço R3, daí:

Exemplos : Determine o vector gradiente das funções abaixo no ponto Po plano R2.

1 ) z = ln ( x² + y² ) em Po ( 0, 1 ).

Resolução :

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2 ) z = x.sen y em Po ( 1, ).

Resolução :

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Derivada direccional (Inclinação)

Se z = f(x,y) é uma função diferenciável de x e y com u = u1i + u2j um vector unitário, então a derivada direccional de z na direcção de u é denotada por : (I)

Seja o vector gradiente temos que a derivada direccional é a direcção assumida pelo vector gradiente quando “aplicado” no vector unitário u, logo, para calcularmos a derivada direccional temos o vector decomposto em é combinado com a equação ( I ) chegamos em :

Exemplos:

1) Ache a derivada direccional de no ponto P0 na direcção .

Resolução:

Como a não é vector unitário, temos que normaliza-lo, daí:

Logo: Portanto:

2) Ache a derivada direccional de no ponto J na direcção .