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Probabilidade e Estatística

Cálculo de Probabilidades & Variáveis Aleatórias

Prof. Paulo Victor Fleming, Ph.D.
Coordenador do Curso de Engenharia Mecânica, UNIFACS

Motivação
Verificando-se os registros dos funcionários de uma universidade, constatou-se que os últimos 100 funcionários admitidos eram todos do sexo masculino Usando o bom senso, o que você diria da política de contrataçãodesta universidade ? Você acha provável que esse fato ocorra naturalmente ?

1

Probabilidade
A teoria da probabilidade é um instrumento que permite à sociedade medir incertezas
venda de um produto novo operação de uma planta industrial acidentes em meios de transporte

Definições
Um experimento é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações
arremesso de um dado testede funcionamento de uma lâmpada aplicação de uma prova

2

Definições
Um evento é uma coleção de resultados de um experimento
teste de funcionamento de uma lâmpada
lâmpada funcionando

lançamento de um dado
face igual a 3

aplicação de uma prova
nota 8,4

Definições
O espaço amostral de um experimento consiste em todos os resultados (eventos simples) possíveis
teste defuncionamento de uma lâmpada
lâmpada funcionando / lâmpada queimada

lançamento de um dado
1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6

aplicação de uma prova
0,0 / 0,1 / ... / 5,5 / 5,3 / ... / 9,9 / 10,0

3

Notação
P denota probabilidade A, B, C denotam eventos específicos P(A) denota a probabilidade de ocorrência do evento A
A = lâmpada funcionando P(A) = 0,999 probabilidade da lâmpada estar funcionandoDefinições de Probabilidade
Freqüência Relativa vs. Clássica
Probabilidade de acertar o giz em um certo aluno Probabilidade de sair a face 3 de um dado
Como estimar essas probabilidades ? Quais os problemas dessas estimativas ?

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Aproximação de Probabilidade pela Freqüência Relativa
Observe um experimento um "grande número de vezes" e conte quantas vezes o evento A ocorre efetivamente.Então P(A) pode ser estimada como
número de ocorrência s de A número de repetições do experiment o

P(A) =

Definição Clássica de Probabilidade
Suponha que um experimento tenha n resultados simples diferentes, cada um dos quais com a "mesma chance de ocorrer" Se o evento A pode ocorrer em s dentre essas n maneiras, então
número de maneiras
P(A) =

como A pode ocorrer = s/n número deresultados simples diferentes

5

Axiomas de Probabilidade
A probabilidade de um evento impossível é 0 A probabilidade de um evento cuja ocorrência é certa é igual a 1 A probabilidade de qualquer evento A é um número entre 0 e 1
0,00 ≤ P(A) ≤ 1,00

A probabilidade de um evento não ocorrer é dada por
P(A' ) = 1 - P(A)
A' = complemento de A

Regra da Adição
Um evento composto é qualquer eventoque combina dois ou mais eventos simples A palavra-chave aqui é a conjunção OU
É o OU inclusive, que significa um, ou outro, ou ambos ! P ( A ou B ) = P (ocorrência de A, ou de B, ou de ambos )
sair face ímpar no arremesso de um dado
P ( 1 ou 3 ou 5 ) = P( 1 ) + P( 3 ) + P( 5 )

sair face ímpar OU superior a 4 no arremesso de um dado
P ( 1 ou 3 ou 5 ou 6 ) = P( 1 ) + P( 3 ) + P( 5 ) + P( 6 )6

Regra da Adição
INTUITIVA
Somamos o número de ocorrências possíveis de A e o número de ocorrências possíveis de B, de tal modo que cada resultado seja contado apenas uma vez P(A ou B) é igual a esta soma, dividida pelo número total de resultados possíveis

FORMAL
P ( A ou B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A e B )

Diagramas de Venn

7

Regra da Multiplicação
O interesse a gora éestimar a probabilidade de dois eventos ocorrerem em seqüência ou simultaneamente A palavra-chave aqui é a conjunção E
P ( A e B ) = P (ocorrência de A e de B)
sair duas faces ímpares no arremesso de dois dados (J e K)

P ( J ímpar e K ímpar ) = P ( J ímpar) x P (K ímpar)

Regra da Multiplicação
Um fabricante produz um lote de 50 filtros de gasolina, dos quais 6 são defeituosos. Se...
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