Conicas

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1) Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita.
Associe a 2ª  coluna com a 1ª coluna.

A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia de cima para baixo, é:
a) I, IV, II, V e III
b) I, V, III, IV e II
c) II, III, V, I e IV
d) III, II, IV, I e V
e) IV, II, V, I e III
Resposta:Para determinar que tipo de curva cada equação representa devemos observar algumas características das equações, observe:
Reta: x e y possuem expoentes iguais a 1, sendo que nem x, nem y podem estar no denominador, nesse caso item (II)
Circunferência: o número que multiplica x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de x² e y² nesse caso o item (V)
Elipse: os números que multiplicam x² e y² sãodiferentes e temos uma soma de x² e y², item (I)
Hipérbole: temos uma subtração de x² e y², item (IV)
Parábola: temos só x² ou só y², item (III)

2) A distância entre o centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 6y = 0 e o foco de coordenadas positivas da elipse de equação x225+y216=1 é:
Resposta: http://www.pensevestibular.com.br/wp-content/uploads/2011/06/conicas2.png
3) Encontrea equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da parábola de equação y = x² - 25 e excentricidade e = 3/5.
Resposta: http://www.pensevestibular.com.br/wp-content/uploads/2011/06/conicas3.png

4) Encontre a equação da parábola que passa pelo ponto P(0,10) e pelos focos da hipérbole de equação 9x² - 16y² = 144
Resposta:http://www.pensevestibular.com.br/wp-content/uploads/2011/06/conicas4.png
5) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3) e é perpendicular à reta que passa pelo centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 4y + 11 = 0 e pelo foco de coordenadas positivas da hipérbole de equação x264−y236=1
Resposta: http://www.pensevestibular.com.br/wp-content/uploads/2011/06/conicas5.png
6) Determine o eixo menor, o centro, os vértices e osfocos da cônica de equação dada por x2 + 4y2 + 4x – 24y + 24 = 0.
Resposta:
Organizando e completando os quadrados temos: x2 + 4x + 4 – 4 + 4[y2 – 6y + 9 – 9] + 24 = 0, ou seja, (x + 2)2 – 4 + 4[(y – 3)2 – 9] + 24 = 0 e daí, teremos: (x + 2)2 + 4.(y – 3)2 – 4 – 4.9 + 24 = 0, isto é, (x + 2)2 + 4.(y – 3)2 – 16 = 0 ou ainda (x + 2)2 + 4.(y – 3)2 = 16. Dividindo ambos os membros por 16 teremos: (x+ 2)2 / 16  +  (y – 3)2 /  4 = 1. Logo, o maior valor do denominador que é 16 está sob a incógnita x (portanto o eixo maior está na horizontal) então a2 = 16 logo, a = 4 e b2 = 4, então b = 2 e como, pela equação, trata-se de uma elipse, a2 = b2 + c2 e daí, c2 = 16 – 4 ou c2 = 12, ou seja, c = 2.
O centro é C(h,k) e como x – h = x + 2 então h = –2 e como y – k = y – 3 então k = 3 logo, C(–2,3).O eixo menor é 2b então B1B2 = 2.2 = 4.
Os vértices são A1(–2 – 4,–3) = (–6,–3) e A2(–2 + 4,–3) = (2,–3) e B1(–2,–3 + 2) = (–2,–1) e B2(–2,–3 – 2) = (–2,–5).
Os focos são F1(–2 – 2,–3) e F2(–2 + 2,–3).

7)Dada à hipérbole de equação 5x2 – 4y2 – 20x – 8y – 4 = 0 determine os focos e as equações das assíntotas.

Resposta: 
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 – 4x + 4– 4] – 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x – 2)2 / 4 – (y + 1)2 / 5 = 1. Então o centro é C(2,–1). Como a incógnita x vem na parte positiva o eixo real está na horizontal, e os valores de a = 2 e b = . Como na hipérbole c2 = a2 + b2 vem que c2 = 4 + 5 = 9 e daí, c = 3.
Os focos são F1(2 – 3,–1) = (–1,–1) e F2(2 + 3,–1) =(5,–1).
As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m  = – b / a, logo temos:
r1 : y – yo = m(x – xo) onde yo = k = –1 e xo = h = 2 e m = – / 2, logo 2(y + 1) = –  (x – 2)  e;
r2 : y – yo = m(x – xo) é dada por:  2(y + 1) =   (x – 2).

8) Determine as coordenadas dos focos, do centro, a excentricidade,  o gráfico e o comprimento dos eixos...
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