Conicas

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É chamada de Cónica toda a linha que se obtém como intersecção de um plano com uma superfície cónica. Uma superfície cónica de revolução é a superfície gerada pela rotação completa de uma recta (geratriz) em torno de outra recta (eixo), formando com esta sempre o mesmo ângulo, até completar uma revolução (volta completa). Ao ponto comum à geratriz e ao eixo chama-se vértice. Quando o plano queintersecta a superfície cónica passa pelo vértice, a secção obtida é uma cónica degenerada. Caso contrário, obtemos cónicas não degeneradas.

Se o plano secante intersecta todas as posições da geratriz e o eixo, a linha obtida é:

um ponto, se o plano passa pelo vértice (elipse degenerada);

uma elipse, se o plano não passa pelo vértice e é oblíquo em relação ao eixo;

  Se, em particular,o plano é perpendicular ao eixo, a elipse obtida é uma circunferência

Se o plano secante é paralelo ao eixo, a linha obtida é:

uma hipérbole, se o plano não passa pelo vértice;

duas rectas concorrentes, se o plano passa pelo vértice (hipérbole degenerada)

Se o plano secante é paralelo apenas a uma posição da geratriz, a linha obtida é:

uma parábola, se o plano não passa pelovértice;

uma recta, se o plano passa pelo vértice (parábola degenerada)

Como Identificar uma Cónica? 
    René Descartes (1596-1650) generalizou a utilização das cónicas e identificou-as como equações do 2º grau. Mas nem todas as equações do 2º grau representam cónicas. As curvas definidas por equações do 2ºgrau em x e y do tipo:
                                  ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 
chamam-se cónicas.
        
    As cónicas classificam-se em três grandes grupos:

Com

    Uma equação do 2ºgrau pode também definir um conjunto vazio (por exemplo, x2+y2+5=0).
    Em particular, as equações do tipo ax2+cy2+dx+ey-f=0 (b=0), definem cónicas com os eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados.

Elipse
   Definição: Uma elipse é um conjunto de pontos do plano cuja soma dasdistâncias a dois pontos fixos é constante (2a) e maior do que a distância entre eles. 
    Os pontos fixos são os focos da elipse. À distância entre os focos chama-se distância focal (2c).
    Os elementos da elipse são: o centro, o eixo maior, o eixo menor, os focos e os vértices. Os eixos de simetria da elipse são: x=0 e y=0.

Elipse com focos sobre o eixo ox: 
F1=(c,0)
F2=(-c,0)

Seja 2a asoma das distâncias do ponto P=(x,y) aos focos. De acordo com a definição de elipse, vem:
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:

Elevando novamente ao quadrado:

Como a > c  então a2 - c2 > 0. Temos a2 - c2 = b2, pelo teorema de Pitágoras.
Então  

O quadro seguinte resume as principais características da elipse com focos sobre o eixo ox:

Aexcentricidade (e) da elipse é o quociente entre a semi-distância focal e o semieixo maior (0<e<1).
Elipse com focos sobre o eixo oy:   
F1=(0,c)
                     
                        
F2=(0,-c)

Temos a < b e pelo teorema de Pitágoras, vem que

De acordo com a figura, a equação será:  

O quadro seguinte resume as principais características da elipse com focos sobre o eixooy:
                        

Nota: A circunferência é um caso particular da elipse, cuja excentricidade (desvio do centro) é nula. Para elipses muito próximas da circunferência, os focos estão próximos do centro e a excentricidade é muito pequena.

Para cada uma das elipses consideradas, podemos ainda admitir uma translação segundo um vector

Tomemos como exemplo a elipse de equação

Aequação da nova elipse obtém-se da anterior substituindo x por x-x1 e y por y-y1: 

O centro da nova elipse é (x1, y1) . 
      Os eixos de simetria desta elipse são: x = x1 e y = y1.

Da equação da circunferência para a equação da elipse
Seja

a equação reduzida de uma elipse.

Obtemos, deste modo, uma circunferência de centro na origem e raio r, cuja equação é:

Hipérbole
   ...
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