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Espacios conexos
En este cap´tulo estudiamos los espacios conexos y su relaci´ n con otras propiedaı o des ya estudiadas. Despu´ s de presentar unos resultados de los espacios conexos, e estudiamos los subespacios conexos de la recta real. A continuaci´ n relacionamos o conexi´ n y continuidad y estudiamos la conexi´ n de los productos cartesianos. o o Estudiamos las componentes conexas yfinalizamos el cap´tulo con la conexi´ n ı o por caminos, que implica la conexi´ n ordinaria. o La definici´ n de conexi´ n para un espacio m´ trico es muy natural. As´, se dice o o e ı que un espacio puede ser “separado” (no conexo), si es posible “dividirlo” en dos conjuntos abiertos con intersecci´ n vac´a. En caso contrario, diremos que el o ı espacio es conexo. Se pretenden alcanzar las siguientescompetencias espec´ficas: ı Utilizar los conceptos b´ sicos asociados a la noci´ n de espacio m´ trico. a o e Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´a m´ trica. ı e Identificar los subconjuntos conexos de la recta real y, en general, de los espacios eucl´deos. ı Relacionar los conceptos de conexi´ n y continuidad en un espacio m´ trico. o e Se desarrollar´ n los contenidossiguientes: a Espacios m´ tricos conexos. Propiedades. e 151

152 Los subespacios conexos de la recta real. Conexi´ n y continuidad. o Componentes conexas. Conexi´ n por caminos. o

6.1. Conjuntos separados

6.1. Conjuntos separados
Definici´ n 6.1.1. Dado un espacio m´ trico (X, d) y dos subconjuntos A, B ⊂ X, o e diremos que A y B est´ n separados si A ∩ B = A ∩ B = ∅. a Es evidente que si A yB est´ n separados, entonces son disjuntos. Sin embargo, a el rec´proco no es cierto como queda de manifiesto en los siguientes ejemplos. ı

Ejemplos
Ej.6.1. En R con la topolog´a usual, los intervalos (0, 1) y (1, 2) est´ n separados, ı a pero los intervalos (0, 1) y [1, 2) no lo est´ n, a pesar de que son disjuntos, a pues (0, 1) = [0, 1] y [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}. Ej.6.2. En (R2 , d2 ) elexterior de la bola abierta de centro el origen de coordenadas y radio 1 Ext B((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 1} y la propia bola abierta

´ Figura 6.1 – Ext B((0, 0), 1) y B((0, 0), 1) estan separados.

B((0, 0), 1) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} est´ n separados puesto que a Ext B((0, 0), 1) = {(x, y) : x2 + y 2 ≥ 1} y
Topolog´a de Espacios M´ tricos ı e Pedro Jos´ Herrero Pi˜ eyro e n 6. Espacios conexos

153 B((0, 0), 1) = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}

y es evidente que que Ext B((0, 0), 1) ∩ B((0, 0), 1) = Ext B((0, 0), 1) ∩ B((0, 0), 1) = ∅ (v´ ase la Figura 6.1). e Ej.6.3. En R con la topolog´a usual, los conjuntos Q y R − Q no est´ n separados, ı a pues Q = R ⊃ R − Q. Ej.6.4. Los conjuntos A = {(0, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1} y B = {(1/n, y)) : n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1} no est´ nseparados, pues todos los puntos de A son adherentes a B (v´ ase a e la Figura 6.2).

Figura 6.2 – Subconjuntos de R2 no separados.

6.2. Espacios conexos
Definici´ n 6.2.1. Diremos que un espacio m´ trico (X, d) es conexo si X no es o e uni´ n de dos subconjuntos no vac´os y separados. En caso contrario diremos que o ı X es no conexo. Proposici´ n 6.2.2. Sea (X, d) un espacio m´ trico y A, B ⊂ Xdos subconjuntos o e disjuntos tales que X = A ∪ B. Son equivalentes: (a) X es no conexo (A y B est´ n separados). a (b) A y B son cerrados.
OCW-Universidad de Murcia Pedro Jos´ Herrero Pi˜ eyro e n

154 (c) A y B son abiertos. ´ D EMOSTRACI ON. -

6.2. Espacios conexos

“(a)⇒(b)“ Supongamos que los conjutos A y B est´ n separados, es decir, que a A ∩ B = A ∩ B = ∅ y veamos que A escerrado. Podemos poner A = A ∩ X = A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) = A ∪ ∅ = A. Por tanto, A es cerrado. An´ logamente se prueba que B tambi´ n es cerrado. a e ”(b)⇒(c)” Suponemos ahora que A y B son cerrados. Como A ∪ B = X y A ∩ B = ∅ entonces A = B c y B = Ac . Por tanto, A y B son abiertos (pues son complementarios de cerrados). “(c)⇒(a)“ Supongamos que A y B son abiertos disjuntos tales que A ∪...
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