Concreto armado

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EC702 – CONCRETO ARMADO I

FLEXÃO SIMPLES - DIMENSIONAMENTO

EXERCÍCIOS

Professores :

ARMANDO LOPES MORENO JR. MARIA CECILIA AMORIM TEIXEIRA DA SILVA

Monitoras PED:

SUSANA DE LIMA PIRES - 2005 MARCELLE ANDRADE COSTA - 2004 RODOLFO GONÇALVES FURTADO LIMA - 2006

Monitor PAD:

2006

1- Calcular e detalhar a armadura longitudinal para a viga de concreto armado abaixo, na seçãode maior momento, dimensionando-a como peça sub-armada.

E s = 21000 KN/cm 2 f ck = 30 MPa CA - 50 c = 3 cm γ f = 1,4 γ c = 1,4 γ s = 1,15 Estribo φ 5.0mm

20cm

40cm

50KN/m 400 cm

RESOLUÇÃO a) Cálculo do momento: q.l 2 50.4 2 = 1,4. M d = 1,4 8 8 b) Características da seção: Seção retangular A c = 0,8.x.bw ⎧d = 35cm Adotando ⎨ ⎩d' = 5cm c) Características dos materiais:

M d =140KN.m = 14000KN.cm

Concreto:

f ck = 30 MPa f 30 f cd = ck = = 21,43 MPa = 2,14KN/cm 2 γ c 1,4 CA-50 f yk = 500 MPa = 50KN/cm 2 f yk
σ s (Mpa) 435 0,207 1 ε s (%)
0,35%

Armadura:

50 f yd = = = 43,5 KN/cm 2 γ s 1,15 f yd 43,5 ε yd = = = 0,00207 = 0,207% E s 21000

x 2,3 3 2 4 x 3,4

x 2,3 0,35 = 1,0 d − x 2,3 x 2,3 = 0,35d − 0,35x 2,3 x 2,3 = 0,259d

x 3,4 0,35 = 0,207 d − x 3,40,207x 3,4 = 0,35d − 0,35x 3,4 x 3,4 = 0,628d

x 2,3 = 9,1cm

x 3,4 = 21,98cm
1%

0,207%

d) Cálculo da armadura:

1a Tentativa: • Armadura simples • Peça sub-armada Domínio 2 ou 3 Armadura escoando σ s = f yd

Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação) M d = R c .z c = A c σ c (d − 0,4x) M d = 0,8.x.bw.0,85.f cd .(d − 0,4.x) M d = 0,68.x.bw.f cd .(d − 0,4.x)
M d = 0,68.bw.fcd .d 2 .β x (1 − 0,4.β x ) βx = x d

kc =

1 0,68.f cd .β x (1 − 0,4.β x )

Md = kc =

bw.d 2 kc

bw.d 2 20.35 2 = = 1,75 Md 14000
⎧x = β x .d Domínio 3!! . ⎨ ⎩x = 17,15cm

Pela tabela 1 temos: β x = 0,49 k s = 0,029

Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação) 0 = Rc − Rs 0 = A c .σ c − A s .σ s 0 = 0,8.x.bw.0,85.f cd − A s .σ s 0 = 0,68.bw.f cd .d.β x − A s .σ s Md 0=− A s .σ s d.(1 − 0,4β x ) Md 1 As = ks = tabela 1 σ s .d.(1 − 0,4β x ) σ s .(1 − 0,4.β x ) M 14000 A s = k s d = 0,029 = 11,6cm 2 35 d Portanto: A s = 11,6cm 2 4 φ 20mm(3,15 cm²/barra)

e) Verificação do d e detalhamento:

d real = 40 − 3 − 0,5 − 2 − d real < d adotado

3 = 33cm 2

40cm

REDIMENSIONAR
3 20cm 4φ 20mm

f) Redimensionando para d = 33cm :

• •

Armadura simples Peçasub-armada Domínio 2 ou 3 Armadura tracionada escoando x 2,3 = 0,259d x 2,3 = 8,55cm σ s = f yd

x 3,4 = 0,628d x 3,4 = 20,72cm

Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação) M d = R c .z c = A c σ c (d − 0,4x) Md = kc = bw.d 2 kc

bw.d 2 20.33 2 = = 1,56 Md 14000
⎧x = β x .d Como βx =0,57>0,5 →βx=0,5 ⎨ ⎩x = 16,5cm

Pela tabela 1 temos: β x = 0,57 Domínio 3!! ---- Armadura dupla.Md = Rczc+Rs(d-d´) Md = Md1+ΔMd Md1 = Rczc = 0,8.x.bw.0,85.fcd.(d-0,4.x) = 0,8.16,5.20.0,85.2,14.(33-0,4.16,5) = 12694,62KN/cm2 Ou pela tabela 1 para βx = 0,5 → Kc = 1,716 → Ks = 0,029 bw.d 2 20.332 M d1 = → M d1 = = 12692,31 KN/cm2 kc 1,716 Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação) 0 = R c1 − R s1 0 = A c1 .σ c1 − A s1 .σ s 0 = 0,8.x.bw.0,85.f cd − A s1 .σ s 0 = 0,68.bw.f cd .d.β x −A s1 .σ s
0= M d1 − A s1 .σ s d.(1 − 0,4β x ) M d1 A s1 = σ s .d.(1 − 0,4β x ) M 12692,31 A s1 = k s d1 = 0,029 d 33 2 A s1 = 11,15cm

ks =

1 σ s .(1 − 0,4.β x )

M d = M d1 + ΔM d 14000 = 12694,62 + ΔM d ΔM d = 1305,38KN.cm ΔM d = R s2 (d − d' ) ΔM d = A s2 .σ s (d − d' )
A s2 = k s 2 ΔM d (d − d' ) k s2 = 1 σs

ΔM d = R s ' (d − d' )
ΔM d = A s '.σ s ' (d − d' ) As ' = ks ' ΔM d (d− d' ) ks '= 1 σs '

Pela tabela 2 temos: k s2 = 0,023

Pela tabela 3 – para βx=0,5 e η=0,15 k s ' = 0,023 1305,38 (33 − 5) A s ' = 1,07cm 2 A s ' = 0,023 4 φ 20mm 2 φ 10mm

1305,38 (33 − 5) A s2 = 1,07cm 2 A s2 = 0,023 A s = A s1 + A s2 = 11,15 + 1,07 = 12,22cm 2 Portanto: A s = 12,22cm 2 A s ' = 1,07cm 2

g) Verificação do d e detalhamento: d real = 40 − 3 − 0,5 − 2 − 3 / 2 = 33cm d...
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