Conceitos basicos para eng° 1° ano

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Conceitos básicos para os cursos de Engenharia

Prof Dulceval Andrade

Congruência entre Triângulos
Dois triângulos (ou de forma geral, duas figuras planas) são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho.
Já a semelhança entre triângulos, objeto do artigo, aborda o conceito mais amplo onde se tem triângulos com a mesma forma, mas não necessariamentecom o mesmo tamanho. Em outras palavras, congruência é um caso particular de semelhança entre triângulos no sentido de que se dois triângulos são congruentes necessariamente eles são semelhantes, mas o contrário não é verdadeiro, como você observará daqui em diante.
Definição de Semelhança entre Triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulosordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.
[pic]
Traduzindo a definição em símbolos:
[pic]
Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e a última a proporcionalidade dos lados homólogos.
Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: doistriângulos são semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo).
Razão de Semelhança
Denominamos o número real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homólogos, como a razão de semelhança dos triângulos:
[pic]









Exercícios:
Semelhança e TriânguloRetângulo

1)Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.

a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.

b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar paraatingir o ponto mais alto da rampa.

Resposta:



[pic]

b) 20,5 m



2) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.

Resp: 4,08 m

3)Num terreno, na forma deum triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante.

[pic]

a) Exprima y em função de x.

b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?

Resp: a) y = 2/3(30-x)

b) Para x = 15 metros, y = 10 metros.

a) A solução desta atividade pode ser encontrada utilizando asemelhança de triângulos, daí:
[pic][pic][pic][pic]
b) A área da casa á retangular, logo, temos que a mesma é dada por: A = x . y. Porém, como y é dado em função de x, segue:
[pic][pic][pic]
Como o sinal de a= - 2/3 é negativo, temos que a concavidade é voltada para baixo. Uma vez que estamos procurando o ponto cuja área é máxima, precisamos encontrar as coordenadas do vértice. Sendo asraízes 0 e 30, a abscissa do vértice, dada pelo ponto médio destas raízes é 15 e o valor da ordenada correspondente é 10.


4)Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB, apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C, como na figura. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:

[pic]

a) √3 m

b) 3/√3 m

c) (6√3)/5 m

d) (5√3)/6 m

e)2√2 m

Alternativa D

5) Certa noite, uma moça, de 1,50 m de altura, estava a dois metros de distância de um poste de luz de 4 m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de:

a) 0,75 m

b) 1,20 m

c) 1,80 m

d) 2,40 m

e) 3,20 m

Alternativa B











6) Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são reto

[pic]...
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