Conceito e Calculo Derivada AdelmoJesus

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Textos de Cálculo
Prof. Adelmo R. de Jesus

I. A NOÇÃO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO
Dada uma função y=f(x) e um ponto xo podemos definir duas variações: a variação de x, chamada ∆x, e a variação de y, chamada ∆y. Temos que ∆ x=x- xo e ∆ y=y- yo.
A taxa de variação média de f(x) no ponto xo é então definida por:
Por exemplo, se f(x)=x2 e xo=2 temos ∆x=x- 2 e ∆y=x2-4. Logo,

f(x) − f(x o )
∆y
=
∆x
x − xo

∆y x2 − 4
=
∆x x−2 Outro exemplo: se f(x)=x3 e xo=2 temos ∆x=x- 2 e ∆y=x3-8. Logo,

∆y x3 − 8
=
∆x x−2 A derivada de uma função em xo é o limite dessas taxas médias quando x → xo, ou seja, quando ∆x → 0.
Por essa razão, a derivada é chamada de taxa de variação instantânea em xo. f(x) − f(x o )
∆y
= lim
.
x − xo x → xo
∆x → 0 ∆x

Resumindo: f´(x o ) = lim

Observe que:
i) O limite acima (derivada) é um número real, que pode ser positivo, negativo, ou mesmo igual a zero. ii) A derivada representa também o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x), no ponto (xo, f(xo)).

II. OUTRAS NOTAÇÕES PARA DERIVADA
a) Muitos professores e textos de Matemática preferem chamar o ponto fixo de xo, pois assim ficamos com a letra x para a variável. f(x) − f(x o )
. A vantagem é que não aparece outra letra t. x − xo x → xo

Veja como fica: f´(x o ) = l i m

f (x) − f(2)
(x 2 + 3) − 7
= lim x−2 x−2 x→ 2 x→ 2

No exemplo que vimos, f(x)=x2+3 e xo=2 temos: f ´(2) = lim

x2 − 4
(x − 2)(x + 2)
= lim
=4
x −2 x→2 x − 2 x→2 O resultado dessa derivada é então f ´(2) = lim

Como vimos, o resultado é o mesmo!!
b) Os livros de Cálculo mais tradicionais chamam o ponto de xo, e denominam a variável x de xo+∆ x (leia “delta x”). Ou seja, como x=xo+∆ x temos x-xo=∆x. f(x o + ∆x) − f (x o )
∆x
∆x → 0

Resumindo, a definição de derivada fica: f ´(x o ) = l i m
No exemplo acima, f(x)=x2+3 e xo=2 temos:

2 f(2 + ∆x) − f(2)
[(2 + ∆x)2 + 3] − 7
[4 + 4∆x + ∆x 2 + 3] − 7
= lim
= lim
∆x
∆x
∆x
∆x → 0
∆x → 0
∆x → 0

f ´(2) = lim

O resultado dessa derivada é então

∆x 2 + 4 ∆x
∆x