Conceito de derivadas

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Conceito de Derivada por R. Courant
O conceito de derivada, como o de integral, é de origem intuitiva. Suas fontes são (1) o problema da construção da tangente a uma curva dada num ponto determinado, e (2), a pesquisa de uma definição precisa, para a velocidade, num movimento arbitrário.
A Derivada e a Tangente
Consideramos, em primeiro lugar, o problema da tangente. Seja P um ponto sobre umacurva dada (fig. 7). Definiremos a tangente a curva no ponto P, de acordo com a intuição comum, por meio do seguinte processo de limite. Marquemos, alem de P, um segundo ponto P1, sobre a curva. Façamos passa uma reta pelos dois pontos, reta esta secante a curva. Se o ponto P1 se mover sobre a curva, dirigindo-se para P, a secante tendera para uma posição limite, a qual é independente do ladopelo qual P1 se aproxima de P. A posição limite da secante é a tangente, e a afirmação de que tal posição limite existe equivale a hipótese de que a curva possui tangente definida ou direção definida no ponto P. (Empregamos a palavra "hipótese" porque efetivamente, fizemos uma. A hipótese da existência da tangente verifica-se nas curvas mais simples, mas, de forma alguma, pode ser generalizada paratodas as curvas, ou mesmo para todas as curvas contínuas).
Umas vez que representamos a curva considerada por meio de uma função y=fx, surge o problema de representar analiticamente o processo geométrico de limite, utilizando a função fx. Imaginemos o ângulo que uma linha reta l faz com o eixo dos x, como sendo aquele de que a parte positiva do eixo deve girar na direção positiva da rotação, afim de ficar paralelo, pela primeira vez à reta l. Seja α1 o ângulo que a secante PP1 faz com a parte positiva do eixo dos x e α o ângulo que a tangente forma com o mesmo eixo. Se pusermos de lado o caso da tangente perpendicular, temos
limp→p1α1= α
Onde o significado dos símbolos é perfeitamente compreensível . Se x, y [=fx] e x1, y1 [=fx1] forem coordenadas dos pontos P e P1, respectivamente,temos imediatamente
tg α1=y1-yx1-x=fx1- f(x)x1-x;
E, assim, o processo limite estudado será representado pela equação
limx1→xfx1-f(x)x1-x=tgα
Isto é, numa direção tal que uma rotação de π2 o obrigue a coincidir com o eixo dos y positivos; ou, em outras palavras, no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio.
A fim de que esta equação tenha significado, devemos admitir0<x-x1<δ, sendo δ escolhido suficientemente pequeno. Nos processos limite que seguem, muitas vezes faremos, tàcitamente, hipóteses correspondentes.

Idéias Fundamentais
A expressão
fx1-f(x)x1-x=y1-yx1-x=ΔyΔx
Será determinada quociente das diferenças da função y=fx, visto que os símbolos Δy e Δx designam as diferenças das funções y=fx e a variável independente x. (O símbolo Δ indica umaabreviação da diferença , e não de um fator.) A tangente de α, ângulo de direção da curva, é portanto, igual ao limite para o qual tende o quociente das diferenças da função considerada, quando x1 tende para x.
Considerando este limite a derivada da função y=f(x) no ponto x e, de acordo com a notação de Lagrange, empregaremos para representá-la o símbolo y'=f'x ou dydx, df(x)dx ou ddxf(x), deconformidade com Leibnitz. Não discutirei aqui o significado da notação de Leibnitz. Limitaremos a assinalar que f'(x) indica que a derivada é, ela própria, uma função de x, visto ter ela uma valor definido para cada valor atribuído a x, no intervalo em estudo. Tal fato é, por vezes, salientado pelo emprego das expressões função derivada ou curva derivada
Apresentamos, novamente a definição da derivadaf'x=limx1→xfx1-f(x)x1-x,
ou
dydx, df(x)dx= f'x=limx1→xfx1-f(x)x1-x= lim∆x→0∆y∆x, = limh→0fx+h- f(x)h
Onde, na ultima expressão, substituímos x1 por x+h.
É impossível achar a derivada, fazendo apenas x1=x na expressão do quociente das diferenças porque, então, tanto o numerador como o denominador anulariam, resultando a expressão 00 sem significado. Ao contrario, a passagem ao limite, em...
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