Comportamento organizacional e empreendedorismo

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A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, sem aprofundamentos, até porque, o nosso objetivo nesta página, é abordar os tópicos ao nível do segundo grau, voltado essencialmente para os exames vestibulares.
Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente aocálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes.
O estudo teórico e avançado, vocês verão na Universidade, no devido tempo.
Outro aspecto importante a ser comentado, é que este capítulo de LIMITES abordará o estritamente necessário para o estudo do próximo tópico: DERIVADAS.
O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso daTEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.
DEFINIÇÃO
Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência umnúmero positivo δ , tal que para
| x - x0 | < δ  , se tenha |f(x) - L | < ε , para todo x ≠ x0 .
Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo:
lim f(x) = L
x→ x0
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Exercício:
Prove, usando a definição de limite vista acima, que:
lim (x + 5) = 8x→ 3
Temos no caso:
f(x) = x + 5
x0 = 3
L = 8.
Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que, 
para  |x - 3| < δ , se tenha |(x + 5) - 8| < ε . Ora, |(x + 5) - 8| < ε é equivalente a | x - 3 | < ε .
Portanto, a desigualdade |x - 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = ε .
Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x →3) .
O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade.
Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções.
Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:
a) é conveniente observar que a existência do limite de uma função,quando x → x0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0 , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0 , porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0 .
Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x → 3.
[pic]
Observe quepara x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x2 - 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x → 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.
b) o limite de uma função y = f(x), quando x → x0, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0).
c)ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porém existirá o limite 
de f(x) quando x → x0 .
d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0 , e existir o limite da 
função f(x) para x → x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que a 
função f(x) é CONTÍNUA no ponto x0 .
e) já vimos a definição do limite de uma função f(x)quando x tende a x0 , ou x → x0 . 
Se x tende para x0 , para valores imediatamente inferiores a x0 , dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0 , para valores imediatamente superiores a x0 , dizemos que temos um limite à direita da função. Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x → x0 ....
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