Complementos de Física

Algumas derivadas básicas
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x. a, b, c e n são constantes.
Derivada de uma constante Derivada da potência Portanto: Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

Derivadas
Regra da cadeia
A fórmula: é conhecida como regra da cadeia. Ela pode ser escrita como: Outra fórmula similar é a seguinte:

Derivada da função inversa
A inversa da função y(x) é a função x(y):

Derivadas de funções trigonométricas e suas inversas

Derivadas de funções exponencial e logarítmica Derivada do logaritmo natural Derivada do logaritmo em outras bases Exponencial

Lembre-se da definição da função logarítmica com base a > 0:

Derivadas das funções hiperbólicas e suas inversas

Lembre-se das definições das funções trigonométricas:

Derivadas de alta ordem
Seja y = f(x). Temos:
A segunda derivada é dada por: A terceira derivada é dada por: A enésima derivada é dada por:

Em alguns livros, a seguinte notação também é usada:
DERIVADAS TOTAIS E PARCIAIS
Def. 1: Seja w = f(P) = f(x1,x2, ... ,xn) uma função de n variáveis. Chama-se acréscimo total de w = f(P) no ponto P0 ao número real:
Δw f P f P f x Δx x Δx x Δx f x x x n n n = ( ) − ( ) = ( + , + , , + ) − ( , , , ) 0 1 1 2 2 K 1 2 K .
Vamos considerar os seguintes casos:
10 CASO: Para as funções de uma única variável x, isto é, y = f (x) , temos que P = x,
P0 = x0 e Δy = f (x) − f(x0) = f (x x) f (x ) 0 0 + Δ − .
Geometricamente:
y f(x0+Δx) f(x0) x0 x0+Δx x
Δ
Δ
Δ
Δ y x f x x f x x =
( + ) − ( ) 0 0 = taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x0, x0 + Δx] e dy dx y x f x x f x x f x x x
= =
+