Ciências exatas

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM
Decaimento radioativo
Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q(t) é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, denotada por dQ/dt, é dada por:

dQ/dt = - k Q(t)

onde k é uma constante que depende do elemento. Por exemplo, para o carbono-14 o valor aproximado é k = 1,244×10-4, para o rádio o valor aproximado é k = 1,4×10-11.

O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado através do tempo de "meia-vida" do elemento. A "meia-vida" é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento. Portanto, se a meia-vida do elemento for conhecida, a constante k pode ser obtida e vice-versa. As "meias-vidas" de vários elementos radioativos podem ser encontradas nos livros de Química. Por exemplo, a meia-vida do carbono-14 está entre 5538 e 5598 anos, sendo em média 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos. O carbono-14 é uma importante ferramenta em pesquisa arqueológica conhecida como teste do radiocarbono. A quantidade inicial do elemento radioativo é Q(0) = Qo.

Exemplo: Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do isótopo no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo.

Solução: Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0)=Qo a quantidade inicial. Resolvendo a equação dQ/dt = - k Q(t) temos que:

Q(t) = Qo e –k.t e, para t = 16, Q(16) = ½Qo, logo e -16.k = ½. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, obtemos

k = [ln(2)]/16 = 0,0433 dias-1

e dessa forma temos a função que determina a quantidade de isótopo radioativo em qualquer instante:

Q(t) = Qo e -0,0433 t

Para t = 30 dias e Q(30) = 30 g: Qo = 30/e -0,0433x30 ≅ 110 g

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