Cinemática

[C´lculo em Rn ] Mat´ria de estudo para o Mini-Teste 4 a e
Análise Matemática Aplicada 2010/11
LEC, ISE, UAlg

Derivada direccionada e gradiente
1.a) Neste caso, o vector unitário que define a direcção em que se deve calcular a derivada é dado por

u = (cos (60 ) , sen (60 )) =

o

o

√ 1 3 , 2 2

.

Por conseguinte, a derivada dirigida de f no ponto P (1, 2) na direcção de u é dada por

√ 1 3 Du f (1, 2) = fx (1, 2) + fy (1, 2) 2 2 e como

conclui-se que

   f (x, y) = 2x − y  f (1, 2) = 0 x x ⇒  f (x, y) = −x − 4y  f (1, 2) = −9 y y

√ √ √ 1 9 3 3 3 1 = 0 × + (−9) × =− Du f (1, 2) = fx (1, 2) + fy (1, 2) 2 2 2 2 2
........................................................................................................ 2. Para estas situações, o vector que define a direcção em que se deve calcular a derivada é calculado da seguinte forma:

v = Q − P = (4, 6) − (1, 2) = (3, 4).
Como o vector não possui norma igual à unidade, ou seja, não é unitário, é necessário proceder à sua normalização,

v =
Por outro lado,

32 + 42 =

√

25 = 5 ⇒ u =

v = v

3 4 , 5 5

.

o que permite concluir que

   f (x, y) = 3x2 − 4xy + y 2  f (1, 2) = −1 x x ⇒  f (x, y) = −2x2 + y 2  f (1, 2) = 2 y y 4 3 8 5 3 Du f (1, 2) = fx (1, 2) + fy (1, 2) = − + = = 1. 5 5 5 5 5

........................................................................................................
DM, FCT, UAlg

-1 / 16-

[C´lculo em Rn ] Mat´ria de estudo para o Mini-Teste 4 a e
Análise Matemática Aplicada 2010/11
LEC, ISE, UAlg

5. A resolução deste exercício segue o procedimento realizado no exercício 2, logo, o vector que define a direcção em que se deve calcular a derivada é dado por

v = Q − P = (5, 5, 15) − (2, 1, 3) = (3, 4, 12), e, procedendo à normalização de v ,

v =
Por outro lado,

32 + 42 + 122 =

√ v = 169 = 13 ⇒ u = v

3 4 12 , , 13 13 13

o que permite concluir que

     fx (2, 1, 3) = 4  fx (x, y, z) = y +