CILINDRICAS E ESFERICAS 2013

COORDENADAS CILÍNDRICAS

dV= =dzdzd dθθ Elemento de Volume dV r drld

dl = rdθ

dV = dz r dθ dr dV = dz r dr dθ

EXERCÍCIO 34, página 5 – Sólido limitado abaixo pelo hemisfério ρ = 1, z ≥ 0, limitado acima pela cardióide de revolução ρ = 1 + cos φ

COORDENADAS ESFÉRICAS
EXERCÍCIO 37(semelhante)página 6 – Sólido limitado abaixo pela esfera ρ = 2cosφ φ e acima pelo cone 2 cos φ − 3 = 0 ou φ= ? RESPOSTA: π/6

EXERCÍCIO 38,página 6 – Sólido limitado abaixo pelo plano xy, dos lados pela esfera ρ = 2 e acima pelo cone φ = π/3

dL = ρdφ

dρ

dl = rdθ

Elemento de Volume em Coordenada s

Esféricas

dV = dldL dρ = rd θρ dφ dρ = ρsen φdθρ dφ dρ = ρ 2 sen φdρdφdθ
-2-

Para Auxiliar na Visão Espacial

CILÍNDRICAS

COORDENADAS POLARES

Função de 3 variáveis

01) DADAS AS EQUAÇÕES:

b) r = 2sen(θ
θ)

a) r = 2

c) r = -2sen(θ
θ)

d) r = 2cos(θ
θ)

e) r = -2cos(θ
θ)

O que você pode dizer das circunferências? Descreva com suas palavras.
a)

b)

c)

d)

f(

,

ESFÉRICAS

,

)

f(

Função de 3 variáveis

,

,

)

Base-plano xy – plano polar ⇒ _____

Elemento de Volume dV =

Elemento de Volume dV =

e)

Considerando um olhar de cima para baixo no sentido anti-horário (positivo) de giro ou rotação

04) QUAL A VARIAÇÃO DE θ (TETA) E DE φ (PHI) NO:

O gráfico está contido em quais quadrantes?
a)

b)

c)

d)

a) 1º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______
b) 2º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______
c) 3º octante: _____≤θ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______
d) 4º octante: _____≤θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______
e) 7º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______
f) 8º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______
g) 5º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______
h) 6º octante: _____≤ θ ≤ _____ e _____≤ φ ≤ ______

e)

Qual é a variação de θ para cada gráfico?

a) 


,




b) 


Lembrando

-




,

c)  , 



d)  , 



Você pode escrever o intervalo

π

e)  , 



≤ θ ≤ 3π 2 desta forma [π2 , 32π ]

2

02) Com suas palavras, o que você pode concluir sobre as