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MANUEL JOAQUIM ALVES

´ ´ ELEMENTOS DE ANALISE MATEMATICA. PARTE II
* Continuidade de fun¸˜es co * C´lculo diferencial a * C´lculo integral a * S´ries num´ricas e e

Faculdade de Ciˆncias e Departamento de Matem´tica e Inform´tica a a UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE

Manuel Joaquim Alves1 “Elementos de An´lise Matem´tica. Parte II”– Maputo: Faculdade a a de Ciˆncias, Departamento deMatem´tica e Inform´tica, 2003.– 200p. e a a
A colectˆnea de exerc´ a ıcios aborda os temas sobre continuidade de fun¸ao, c´lculo diferencial e integral e s´ries c˜ a e num´ricas. O presente trabalho destina-se aos estudantes dos cursos de Matem´tica, Economia, Ciˆncias e Engenharias. e a e Referˆncias bibliogr´ficas: 7 t´ e a ıtulos. (ISBN)N´mero de registo: 01882/RLINLD/2002 u Tiragem: 500

Revis˜o:Prof. Doutor A. I. Elisseev, Prof. Doutor A. I. Kalashnikov, Prof. Doutora E. V. Alves, dr. Bhangy Cassy, a dr. Lu´ Weng San ıs

c M. J. Alves, 2002

Este trabalho foi editado com o apoio financeiro das

Cervejas de Mo¸ambique c

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Prof. Doutor M. J. Alves ´ Mestrado (Universidade Estatal de Saint-Petersburg) e Doutorado (Universidade Estatal e ´ membro daAmerican Mathematical Society (AMS) e da Society for Industrial and Applied de Perm) em Matem´tica. E a Mathematics (SIAM). Actualmente ´ professor na Universidade Eduardo Mondlane e no Instituto Superior de Ciˆncias e e e Tecnologia de Mo¸ambique. O seu endere¸o electr´nico ´: majoalves@member.ams.org c c o e

1

Pref´cio a
O presente trabalho ´ uma colectˆnea de exerc´ e a ıcios referentes aalguns temas das disciplinas de An´lise Matem´tica I e An´lise Matem´tica II. As primeira2 e segunda partes desta edi¸ao a a a a c˜ de “Elementos de An´lise Matem´tica” ficam, deste modo, a completar-se. a a Nesta parte II faz-se uma digress˜o ao conceito de continuidade e continuidade uniforme a de fun¸˜o. Especial aten¸˜o ´ dada ao tema sobre diferencia¸ao, integra¸˜o e suas aplica¸oes. ca ca e c˜ cac˜ Aborda-se o tema sobre integrais impr´prios, crit´rios de convergˆncia de integrais impr´prios. o e e o Finalmente, nos ultimos m´dulos, introduz-se a no¸ao de s´ries num´ricas, crit´rios de con´ o c˜ e e e vergˆncia de s´ries num´ricas. e e e A assimila¸ao dos principais conceitos e teoremas, que se encontram no resumo te´rico, c˜ o s˜o fundamentais para a compreens˜o dos exerc´ a a ıciosresolvidos e a resolu¸ao dos exerc´ c˜ ıcios propostos. Subentende-se que as demonstra¸oes destes teoremas o leitor teve a oportunidade c˜ de aprendˆ-las, durante as aulas te´ricas ministradas. e o Parte dos exerc´ ıcios aqui retratados foram retirados do livro, j´ considerado cl´ssico e de a a consulta obrigat´ria, sob redac¸˜o do acad´mico russo Boris Pavlovitch Demidovitch3 . o ca e Gostar´ ıamosde exprimir os nossos agradecimentos ` todos que, directa ou indirectamente, a contribu´ ıram para que este trabalho fosse publicado. As Cervejas de Mocambique , que ¸ financiaram esta edi¸˜o, o nosso agradecimento. ca Maputo, Junho 2001 O autor

2 3

M. J. Alves “Elementos de An´lise Matem´tica. Parte I” a a Boris Pavlovitch Demidovitch (1906–1977) — matem´tico russo a

3

M´dulo 1 oContinuidade e continuidade uniforme
1.1 Resumo te´rico o

Seja E ⊂ R1 , a ∈ E, E ´ um conjunto aberto. A fun¸ao f : E → R1 ´ cont´ e c˜ e ınua no ponto a se f (x) est´ definida numa vizinhan¸a de a e lim f (x) = f (a). Diremos que a fun¸˜o f (x) ´ a c ca e cont´ ınua, no ponto a, segundo Heine1 se para qualquer que seja a sucess˜o {xn }, xn ∈ E a (n = 1, 2, . . . , n), xn → a, quando n → ∞,temos f (xn ) → f (a). A fun¸ao f (x) ´ cont´ c˜ e ınua, 2 no ponto a, segundo Cauchy se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ E : |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε. A fun¸˜o f (x) ´ cont´ ca e ınua em E se ela fˆr cont´ o ınua em cada ponto de E. A fun¸ao f (x) ´ c˜ e cont´ ınua ` direita do ponto a se lim f (x) = f (a). A fun¸˜o f (x) ´ cont´ a ca e ınua ` esquerda do a x→a
x>a

x→a

ponto a se lim f (x) =...
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