Centroides

Exercício - Aula 1 - Solução
O objetivo deste exercício é que os alunos percebam a importância do momento estático como uma forma de determinar o centroide de uma área, medida que será de fundamental importância ao longo deste curso. É importante organizar a solução, por existem sempre muitos caminhos, alguns são substancialmente mais longos que outros.
O problema é apresentado com a figura abaixo:

Pede-se: Calcule a posição do centroide da área azul.
Bem, por onde começar?
Se tivéssemos um eixo qualquer, poderíamos calcular a distância dele para o centroide através do cálculo do momento estático; a distância d até o centroide seria o momento estático da figura em relação a esse eixo dividido pela área da figura; em outras palavras: d = S/A.
Como o centroide é um ponto, precisaríamos não de um, mas de dois eixos para que fosse possível localizar a posição do mesmo.

Determinando Eixos de Referência Iniciais
É certo que não temos esses eixos, mas nada nos impede de coloca-los onde nos interessar. O aluno precisa se acostumar a escolher a localização de eixos de referência.
Antes de mais nada, vamos usar um par de eixos de referência: x’ e y’, conforme indicado abaixo. Eles serão nossos eixos iniciais para o cálculo do momento estático.

Cálculo da Posição Xg do Centroide
O primeiro passo é determinar a posição Xg onde se encontra o centroide.
Poderíamos calcular o momento estático da área em relação ao eixo y’ e, dividindo este valor pela área da figura, teríamos a posição Xg (contando a partir de y’).
No entanto, é fácil perceber que a figura possui uma simetria: é possível traçar um eixo y paralelo a y’ que divida a figura em duas partes idênticas (porém espelhadas). Como eixos de simetria passam pelo centroide, este eixo y estaria na posição Xg!
Ora, se a figura será cortada em duas metades idênticas, este eixo deve estar centralizado em sua largura: a figura tem 8 de largura e, sendo assim, o eixo y deve passar pela posição x = 4,