Casos de familia

TABELA: Derivadas, Integrais e Identidades Trigonom´tricas e

•

Derivadas

•

Integrais du = u + c. n+1 un du = u n+1 + c, n = −1. du u = ln |u| + c. au au du = ln a + c, a > 0, a = 1. eu du = eu + c. sen u du = − cos u + c. cos u du = sen u + c. tg u du = ln |sec u| + c. cotg u du = ln |sen u| + c. sec u du = ln |sec u + tg u| + c. cosec u du = ln |cosec u − cotg u| + c. sec u tg u du = sec u + c. cosec u cotg u du = −cosec u + c. sec2 u du = tg u + c. cosec2 u du = −cotg u + c. du 1 = a arc tg u + c. a u2 +a2 du u2 −a2 1 = 2a ln √ du u2 +a2 √ du u2 −a2 √ du = arc sen u + c, a a2 −u2 1 √ du = a arc sec u a u u2 −a2

Sejam u e v fun¸˜es deriv´veis de x e n conco a stante. 1. y = un ⇒ y = n un−1 u . 2. y = uv ⇒ y = u v + v u. 3. y = u ⇒ y = u v−v u . v v2 4. y = au ⇒ y = au (ln a) u , (a > 0, a = 1). 5. y = eu ⇒ y = eu u . 6. y = loga u ⇒ y = u loga e. u 1 7. y = ln u ⇒ y = u u . 8. y = uv ⇒ y = v uv−1 u + uv (ln u) v . 9. y = sen u ⇒ y = u cos u. 10. y = cos u ⇒ y = −u sen u. 11. y = tg u ⇒ y = u sec2 u. 12. y = cotg u ⇒ y = −u cosec2 u. 13. y = sec u ⇒ y = u sec u tg u. 14. y = cosec u ⇒ y = −u cosec u cotg u. u 15. y = arc sen u ⇒ y = √1−u2 . 16. y = arc 17. y = arc 18. y = arc 19. y = arc sec u, |u| 1 u ⇒ y = |u|√u2 −1 , |u| > 1. cos u ⇒ y = √−u 2 . 1−u u tg u ⇒ y = 1+u2 . −u cot g u ⇒ 1+u2 .

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

+ c, u2 > a2 . √ = ln u + u2 + a2 + c. √ = ln u + u2 − a2 + c. u2 < a2 . + c.

u−a u+a

20. y = arc cosec u, |u| 1 −u ⇒ y = |u|√u2 −1 , |u| > 1.

• •

F´rmulas de Recorrˆncia o e n−1 au

Identidades Trigonom´tricas e

1. senn au du = − sen

1. sen2 x + cos2 x = 1. 2. 1 + tg2 x = sec2 x. 3. 1 + cotg2 x = cosec2 x. 4. sen2 x = 1−cos 2x . 2 5. cos2 x = 1+cos 2x . 2 6. sen 2x = 2 sen x cos x. 7. 2 sen x cos y = sen (x − y) + sen (x + y). 8. 2 sen x sen y = cos (x − y) − cos (x + y). 9. 2 cos x cos y = cos (x − y) + cos (x + y). 10. 1 ± sen x = 1 ± cos π − x . 2

+ 2.