CASA

Universidade Federal Fluminense
´
Instituto de Matematica e Estat´stica ı ´
Departamento de Matematica Aplicada

C´lculo 3A – Lista 2 a Exerc´ 1: Use a mudan¸a u = x+y e v = x−y e calcule a integral de f (x, y) = (x+y)2 sen2 (x−y) ıcio c sobre a regi˜o D : |x| + |y| ≤ π. a Solu¸˜o: O esbo¸o da regi˜o D est´ representado na figura que se segue. ca c a a y x − y = −π

π

x+y =π

D
−π
x + y = −π

De u = x + y e v = x − y temos x = por: ∂(x, y)
J=
=
∂(u, v)

u+v
2

∂x
∂u
∂y
∂u

x

π

x−y =π

−π

ey=

∂x
∂v
∂y
∂v

=

u−v
2
1
2
1
2

. Portanto, o jacobiano da mudan¸a ´ dado c e
1
2
1
−
2

=

−1
4

−

1
4

1
2

=− .

1

Como dxdy = |J| dudv ent˜o dxdy = dudv. A fun¸˜o f (x, y) = (x+y)2 sen2 (x−y) transforma-se a ca
2
2
2
em u sen v.
Como D ´ limitada pelas retas x + y = π, x + y = −π, x − y = π e x − y = −π, ent˜o Duv ´ e a e limitada pelas retas u = π, u = −π, v = π e v = −π.

´
Calculo 3A

Lista 2

24

v π Duv
−π

u

π

−π

Assim, pela f´rmula da mudan¸a de vari´veis temos: o c a (x + y)2 sen2 (x − y) dxdy =

f (x, y) dxdy =
D

D

1
2

(u2 sen2 v) dudv =

=

π

1
2

−π

Duv

=
=

1
2
π3
3

π

sen2 v
−π

·

1
2

v−

u3
3

sen 2v
2

π

dv =
−π
π

=

−π

π4
3

π

sen2 v
1
2

·

u2 dudv =
−π

2π 3
3

π

sen2 v dv =
−π

.

(x2 +

Exerc´ ıcio 2: Use a mudan¸a de vari´veis u = xy e v = y/x, e calcule a integral dupla c a
D

2y 2) dA, sendo D a regi˜o do plano xy no primeiro quadrante, delimitada pelas curvas xy = 1, a xy = 2, y = x e y = 2x. u u

Solu¸˜o: Se u = xy e v = y/x vemos que uv = y 2 e = x2 . Assim, x2 + 2y 2 = + 2uv. Por ca v v outro lado

J −1 =

Logo, J =

1
2v

1
J

∂(u, v)
=
=
∂(x, y)

∂u
∂x
∂v
∂u

∂u
∂y
∂v
∂y

y

. Como dA = |J| dudv, ent˜o dA = a 1
2v

x

−y x2 =

1 x =

y x +